sinussatz - 0 od. 1 od. 2 lsgn < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mo 27.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne, soweit möglich, die fehlenden Winkel und Seiten. Die Aufgaben haben entweder keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen.
Gegeben sind: Zwei Seiten und der Gegenwinkel der kleineren Seite.
a) b= 5,8 c=6,8 [mm] \beta=60° [/mm]
b) a=8,8 c=6 [mm] \gamma=33,5°
[/mm]
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Moin zusammen!
Ich würde gerne verstehen, warum es zu solchen aufgaben mal keine lösung gibt, mal eine und mal zwei lösungen. Kann mir das jemand kurz erklären?
zu a)
ansatz: [mm] \bruch{b}{c}= \bruch{sin \beta}{sin \gamma}
[/mm]
der taschenrechner meldet error?!
zu b)
gibt es hier zwei lösungen, und wenn ja, woran liegt das?
[mm] \bruch{a}{c}= \bruch{sin \alpha}{sin \gamma}
[/mm]
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{8,8}{6}* [/mm] sin 33,5°
sin [mm] \alpha [/mm] = 1,28
???
vielen dank für eure hilfe!
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a) ganz recht, es existiert kein solches Dreieck. Versuche mal eins zu zeichnen!
b) Ich würde sagen es kann 2 Dreiecke geben. Du solltest [mm] \alpha [/mm] hier nicht ausrechnen, bzw. es bringt dir nichts.
Ich habe das so gemacht: Ich habe mir dir Grundseite gezeichnet (6cm). Dann kannst du den Zirkel an den Punkt B anlegen und ziehst einen Kreis mit dem Radius mit 8,8cm. Die Seite a muss also vom Kreisbogen und vom Pukt B begrenz sein, damit die 8,8cm lang ist. Dann trägst du einfach erstmal beliebig eine Strecke ab und dann zeichnest du noch die Siete b dazu umd as ganz anschaulich zu machen. Beachte den Winkel [mm] \gamma [/mm] erstma nicht. Das Dreieck erfüllt nun die bedingungen der Seiten a und c. Und wenn man die Spitze des Dreiecks auf dem Kreisbogen nach links bewegen würde, würde der Winkel [mm] \gamma [/mm] immer kleiner werden. und würde auch mal den Wert 33,5° erreichen. Aber genauso gut würde er diesen Winkel erreichen,w enn du die Spitze des Dreciecks nach rechts verschieben würdest.
Dann nehmen wir mal an, du zeichnest das Dreieck so, dass die Spitze genau in der Mitte ist, also sodass das Dreieck gleichschenklig ist (c=6cm, a=8,8cm, b=8,8cm). Wenn du [mm] \gamma [/mm] nun misst erhälst du etwas, was größer als 33,5° ist. und wenn du die Spitze nun in irgendeine Richtung verschiebst, wird der Winkel kleiner! Kannst du auch zeichnen und messen.
Und auf alle Fälle kannst du die Spitze nach links oder rechts verschieben und erhälst also 2 Dreiecke mit den gewünschten Maßen.
Nun zur eher mathematischen Variante: Wenn du [mm] sin\alpha [/mm] mit dem Sinussatz berechnest, erhälst du ca. 0,8. Wenn du dir nun die Sinusfunktion vorstellst, erreicht diese den Wert 0,8 im Intervall [0°;180°] genau 2mal.Bei ca. 54° und bei ca. 126°. 2 Werte für [mm] \alpha, [/mm] 2 Dreiecke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Di 28.11.2006 | | Autor: | Psychopath |
Laut Voraussetzung ist das Verhältnis b/c kleiner als 1, denn b ist die kleinere Seite.
Wenn ist das Verhältnis sin(beta) / sin(gamma) ebenfalls kleiner 1 ?
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FALL 1:
Wenn beta und gamma beide kleiner 90Grad sind
Fall1a)
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beta ist kleiner als gamma, dann kann das Verhältnis:
sin(beta) / sin(gamma)
auch kleiner 1 sein.
Fall 1b:
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wenn gamma kleiner als beta, dann ist das Verhältnis
sin(beta) / sin(gamma)
größer als 1. Die Gleichung ist unlösbar.
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FALL2:
Gamma ist kleiner als 90Grad, und wegen Winkelsummensatz kann beta damit größer 90GRad werden.
sin(beta) / sin(gamma)
Weil Beta größer 90Grad werden kann, werden bestimmte Werte zweimal erreicht (siehe Graph der Sinusfunktion für 0...180Grad) Das Verhältnis:
sin(beta) / sin(gamma)
kann zweimal einen Wert kleiner Null annehmen.
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