singuläre Linienelemente < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die singulären Linienelemente und die Lösungen der Differentialgleichung
[mm](y')^{4}-9y=0[/mm] |
Hallo,
also ich hab die oben stehende AUfgabe auf meinem aktuellen Matheblatt.
Wie schon bei einer anderen Frage erwähnt habe ich noch große Probleme mit singulären (und regulären) Linienelementen.
Ich weiß, dass ich eine DGL F(x,y,y') =0 hab das schreibe ich als F(x,y,p)=0
wenn ich dafür mehrere Lösungen p rauskriege, hab ich mehrere Linienelemente.
jetzt will ich doch [mm](p')^{4}-9y=0[/mm] nach p auflösen, oder?
Bei einem Beispiel in der VL (das Beispiel steht auch bei Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen S. 48)
hatten wir [mm]y'^{2}=4x^{2}[/mm]
da ist mir auch klar dass man F(x,y,p)=[mm]p'^{2}-4x^{2}[/mm]=0 umschreiben kann zu p=+-2x
usw.
aber hier habe ich ja nur y und das verwirrt mich.
selbst wenn ich das jez versuche aufzulösen, komme ich auf p=+- [mm] 4te\wurzel{9y} [/mm] und weiß nicht weiter
schreibe ich dann F(x,y,+- [mm] 4te\wurzel{9y}) [/mm] ?
und was sagtmir das über singuläre linienelemente oder die lsg der DGL?
Danke für Anregungen und jede Hilfe,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg cmueller
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Hallo cmueller,
> Bestimmen Sie die singulären Linienelemente und die
> Lösungen der Differentialgleichung
> [mm](y')^{4}-9y=0[/mm]
> Hallo,
>
> also ich hab die oben stehende AUfgabe auf meinem aktuellen
> Matheblatt.
> Wie schon bei einer anderen Frage erwähnt habe ich noch
> große Probleme mit singulären (und regulären)
> Linienelementen.
> Ich weiß, dass ich eine DGL F(x,y,y') =0 hab das schreibe
> ich als F(x,y,p)=0
> wenn ich dafür mehrere Lösungen p rauskriege, hab ich
> mehrere Linienelemente.
>
> jetzt will ich doch [mm](p')^{4}-9y=0[/mm] nach p auflösen, oder?
>
> Bei einem Beispiel in der VL (das Beispiel steht auch bei
> Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen S. 48)
> hatten wir [mm]y'^{2}=4x^{2}[/mm]
> da ist mir auch klar dass man F(x,y,p)=[mm]p'^{2}-4x^{2}[/mm]=0
> umschreiben kann zu p=+-2x
> usw.
>
> aber hier habe ich ja nur y und das verwirrt mich.
> selbst wenn ich das jez versuche aufzulösen, komme ich
> auf p=+- [mm]4te\wurzel{9y}[/mm] und weiß nicht weiter
> schreibe ich dann F(x,y,+- [mm]4te\wurzel{9y})[/mm] ?
Linienelemente sind zunächst die Tripel [mm]\left(x,\ y, \ \wurzel[4]{9y}\right)[/mm]
> und was sagtmir das über singuläre linienelemente oder
Singuläre Linienelemente sind diejenigen Elemente,
für die die DGL
[mm]p^{4}-9y=0[/mm]
nicht nach p auflösbar ist.
Für die Auflösbarkeit untersucht man, wann [mm]F_{p}=0[/mm] ist.
Für den Fall p=0 ist hier die Gleichung nicht nach p auflösbar.
Hieraus ergeben sich die singulären Linienelemente.
> die lsg der DGL?
>
> Danke für Anregungen und jede Hilfe,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> lg cmueller
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
coool, vielen Dank schonmal dafür!!!
aber zwei Fragen habe ich leider noch.
ich hab also die singulären linienelemente für p=0.
ist es richtig dass ich dann p=0 einmal einsetze und dann rausbekomme, dass dafür auch y=0 ist und ich die singulären Linienelemente (x,0,0) habe?
und wiekomme ich jetzt auf die lösungen der dgl?
die kriege ich doch eigentlich wenn ich nach y auflöse aber ich habe ja nur die eine gleichung und die nach y ist ja dann [mm] y=\bruch{p^{4}}{9}
[/mm]
oder lässt man dann das p weg und macht das "einfach so"
also dass man die dgl [mm]y'^{4}-9y=0[/mm] auflöst?
wenn das so ist, dann komm ich da aber nicht weiter wegen dem hoch 4.
normalerweise wäre das ja eine ganz einfach trennung der variablen mit [mm] lny=\integral_{a}^{b}{9 dx}
[/mm]
aber da stört die hoch 4 doch bei...
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Hallo cmueller,
> coool, vielen Dank schonmal dafür!!!
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> aber zwei Fragen habe ich leider noch.
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> ich hab also die singulären linienelemente für p=0.
> ist es richtig dass ich dann p=0 einmal einsetze und dann
> rausbekomme, dass dafür auch y=0 ist und ich die
> singulären Linienelemente (x,0,0) habe?
Ja.
>
> und wiekomme ich jetzt auf die lösungen der dgl?
> die kriege ich doch eigentlich wenn ich nach y auflöse
> aber ich habe ja nur die eine gleichung und die nach y ist
> ja dann [mm]y=\bruch{p^{4}}{9}[/mm]
Nun, [mm]y\left(p\right)[/mm] hast Du ja schon.
Es fehlt dann hier noch [mm]x\left(p\right)[/mm].
Dabei hilft die Gleichung
[mm]\dot{y}=p*\dot{x}[/mm]
Daraus ergibt sich die DGL
[mm]\dot{x}=\bruch{\dot{y}}{p}[/mm]
Deren Lösung bestimmt [mm]x\left(p\right)[/mm]
> oder lässt man dann das p weg und macht das "einfach so"
> also dass man die dgl [mm]y'^{4}-9y=0[/mm] auflöst?
> wenn das so ist, dann komm ich da aber nicht weiter wegen
> dem hoch 4.
> normalerweise wäre das ja eine ganz einfach trennung der
> variablen mit [mm]lny=\integral_{a}^{b}{9 dx}[/mm]
> aber da stört
> die hoch 4 doch bei...
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 So 15.11.2009 | | Autor: | cmueller |
wunderbar
ich hab jetzt y(p) raus (hatte ich ja vorher schon)
und x(p) war dann ja auchnur noch ein klacks.
mal sehen, ob mein übungsleiter das auch so gut findet wie ich ;)
dir noch einen schönen sonntag abend und vielen Dank
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