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| Aufgabe | | Ist [mm] \[f(x)=sin(e^x)\] [/mm] eine Schwartzfunktion, langsam wachsend, eine reguläre Distribution? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schwartzfunktionen fallen schneller als jede Potenz gegen 0 ab, der Sinus fällt für [mm] \[x\to -\infty\] [/mm] tatsächlich wie [mm] \[e^x\] [/mm] ab, bleibt aber für [mm] \[x\to \infty\] [/mm] zwischen -1 und 1, die Ableitung [mm] \[e^x cos(e^x)\] [/mm] fällt gar nicht ab, sondern wächst exponentiell, also ist f keine Schwartzfunktion. Diese Begründung erscheint mir allerdings nicht formal genug.
Bei der Frage, ob f schwach wachsend ist, kann ich ebenfalls nur ein heuristisches argument geben. für positive x ist die funktion beschränkt zwischen -1 und 1, und für negative x fällt sie gegen Null ab, ihr Ableitung wächst aber für positive x exponentiell, somit würde ich sagen, dass f nicht schwach wachsend ist. Hier fehlt mir allerdings eine rigorosere begründung.
Wenn f aber schneller als ein Polynom wächst, dann kann es auch keine zugehörige reguläre distribution geben.
Bitte um Hilfe bei formaler Begründung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Integrator,
damit [mm] f\in\mathcal{S}(\IR) [/mm] eine Schwartzfunktion ist, muß [mm] f\in C^\infty(\IR) [/mm] sein (das hat man) und eine gewisse Halbnorm muss endlich sein. Die gibts in verschiedene Versionen, zB die aus der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia. Bei mir in der Vorlesung sieht sie etwas anders aus, du musst mal bei dir kucken, aber die sind natürlich äquivalent. Du hast dir ja schon die erste Ableitung angekuckt, und die ist über [mm] \IR [/mm] unbeschränkt, damit ist die gewünschte Norm nicht endlich, also f keine Schwartzfunktion. Das halt jetzt noch schöner aufschreiben.
Mit "langsam wachsend" ist schätze ich mal eine temperierte Distribution gemeint. Da musst du überprüfen, ob [mm] T_f(\varphi):=\integral_\IR{f(x)\varphi(x)} [/mm] , [mm] \varphi\in\mathcal{S} [/mm] linear und stetig ist. Linearität ist klar.
Zur Stetigkeit, sei [mm] (\varphi_j)_{j\in\IN} [/mm] eine Folge von Schwartzfunktionen mit [mm] \varphi_j\to [/mm] 0 für [mm] j\to\infty [/mm] und zwar in [mm] \mathcal{S}, [/mm] d.h bezgl. der obigen Norm. ZZ ist dann, dass [mm] $T_f(\varphi_j)\to [/mm] 0$ Nach meiner Rechnung klappt das,weil f beschränkt ist. Falls du es nicht schaffst, frag nochmal.
Ist mit regulärer Distribution nicht eine reg. Distribution bzgl der Testfunktionen gemeint? Das wäre klar, weil f stetig ist, also [mm] f\in L^1_{lok}(\IR) [/mm] (lokal integrierbar).
Falls jeweils was anderes gemeint war, schreib nochmal auf, was.
Lg walde
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Mit langsam wachsend meine ich, dass die Funktion und alle ihre Ableitungen nicht schneller als polynomiell anwachsen, es soll eine temperierte Distribution sein, hätte ich dazusagen sollen :)
Hab nochmal mein Skript durchgelesen und war ein bisschen verwirrt ob der Definition einer regulären, temperierten Distribution. Ich hab gedacht, das hätte etwas mit den Eigenschaften der Funktion f zu tun, aber tatsächlich geht es darum, dass [mm] \[\integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\phi(x)dx\] [/mm] eine Distribution definiert. Danke für den Hinweis, war wohl etwas durcheinander.
Zur Stetigkeit habe ich noch eine Frage: Ist es wirklich egal, wogegen die Folge von Schwartzfunktionen konvergiert? Darf ich [mm] \[\phi_j \to 0\] [/mm] annehmen?, oder muss ich [mm] \[ |\phi_j-\phi|\to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow |T(\phi_j)-T(\phi)| \to 0\] [/mm] zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Mit langsam wachsend meine ich, dass die Funktion und alle
> ihre Ableitungen nicht schneller als polynomiell anwachsen,
> es soll eine temperierte Distribution sein, hätte ich
> dazusagen sollen :)
Hm, jetzt bin ich grad noch verwirrt. Muss eine Funktion, die eine temperierte Distribution darstellen soll die Eigenschaft haben, dass sie UND alle Ableitungen nicht schneller als polynomiell anwachsen? (Das braucht man für eine Schartzfunktion,aber ich dachte nicht unbedingt für eine die Distribution erzeugende Funktion.)
Das ist ja hier nicht der Fall, trotzdem dachte ich die Beschränktheit würde genügen. Da hab ich evt. nen Denkfehler drin. Wenn du meinst, das geht nicht, müsste ich mal meine Abschätzung posten, damit du mal drüber kucken kannst, ob/wo der Fehler liegt.
> Hab nochmal mein Skript durchgelesen und war ein bisschen
> verwirrt ob der Definition einer regulären, temperierten
> Distribution. Ich hab gedacht, das hätte etwas mit den
> Eigenschaften der Funktion f zu tun, aber tatsächlich geht
> es darum, dass
> [mm]\[\integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\phi(x)dx\][/mm] eine
> Distribution definiert. Danke für den Hinweis, war wohl
> etwas durcheinander.
>
> Zur Stetigkeit habe ich noch eine Frage: Ist es wirklich
> egal, wogegen die Folge von Schwartzfunktionen konvergiert?
> Darf ich [mm]\[\phi_j \to 0\][/mm] annehmen?, oder muss ich [mm]\[ |\phi_j-\phi|\to[/mm]
> 0 [mm]\Rightarrow |T(\phi_j)-T(\phi)| \to 0\][/mm] zeigen?
Da bei linearen Abbildungen Stetigkeit äquivalent zur Stetigkeit in Null ist, kannst du [mm] \varphi_j\to [/mm] 0 annehmen, das reicht dann schon.
Lg walde
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Ich denke, man kann die Stetigkeit der Distribution nur zeigen, wenn f gewissen Eigenschaften hat, und das ist in dem Fall, dass f schwach wachsend ist (das macht Sinn, denn dann bleibt das Integral endlich, weil die Schwartzfunktion [mm] \[\phi\] [/mm] schneller abfällt, als f wächst!). Ich glaube also (formaler Beweis fehlt eben), dass f keine reguläre, temperierte Distribution definiert, da f nicht schwach wachsend ist. Bin momentan ein bisschen ratlos.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
zZ [mm] |T_f(\varphi_j)|\to [/mm] 0 für [mm] \varphi_j\to [/mm] 0 (in [mm] \mathcal{S}), j\to\infty
[/mm]
Bew: Da [mm] $|f(x)|\le [/mm] 1$, ist
[mm] |T_f(\varphi_j)|\le\integral_{-\infty}^{\infty}{|f(x)||\varphi_j(x)| dx}\le\integral_{-\infty}^{\infty}{|\varphi_j(x)| dx}=\integral_{-\infty}^{-1}{|\varphi_j(x)| dx}+\integral_{-1}^{1}{|\varphi_j(x)| dx}+\integral_{1}^{\infty}{|\varphi_j(x)| dx}
[/mm]
Es ist [mm] \integral_{-\infty}^{-1}{|\varphi_j(x)| dx}=\integral_{-\infty}^{-1}{x^2|\varphi_j(x)|*\bruch{1}{x^2} dx}\le sup_{x\in(-\infty,-1]}|x^2\varphi_j(x)|*\integral_{-\infty}^{-1}{\bruch{1}{x^2} dx}
[/mm]
Das Integral ist endlich und da [mm] \varphi_j [/mm] eine Schwartzfunktion ist, geht das Supremum trotz des [mm] x^2 [/mm] gegen Null. Analog kann man die anderen beiden Integrale betrachten, also ist [mm] T_f [/mm] stetig und damit eine temp. Distribution.
Was meinst du?
Lg walde
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Klingt plausibel, rein anschaulich scheint es ja auch vernünftig, dass f eine Distribution ist, weil sie ja beschränkt und stetig ist. Der letzte Schritt ist ja unabhängig von der Wahl der Potenz, nicht? Genügt es nicht also, die erste Zeile hinzuschreiben? Da phi eine Schwartzfunktion ist, wird das Integral endlich sein.
Zusammenfassend kann man also sagen: f ist weder eine Schwartzfunktion (es reicht eigentlich, den limes der ersten ableitung zu berechnen und zu sehen, dass dieser nicht Null ist) noch schwach wachsend ist (mit dem Argument, dass die erste Ableitung schneller als polynomiell wächst, beweis krieg ich schon irgendwie hin), aber f definiert eine reguläre, temperierte distribution, was du ja gerade gezeigt hast.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Klingt plausibel, rein anschaulich scheint es ja auch
> vernünftig, dass f eine Distribution ist, weil sie ja
> beschränkt und stetig ist. Der letzte Schritt ist ja
> unabhängig von der Wahl der Potenz, nicht?
Ja, die Potenz die man rauszieht muss nur so gross sein, dass das Integral exisiert. (Spielt bei Integration über [mm] \IR^n [/mm] ne Rolle.)
> Genügt es
> nicht also, die erste Zeile hinzuschreiben? Da phi eine
> Schwartzfunktion ist, wird das Integral endlich sein.
Kommt auf den an, der die Übungsaufgabe korrigiert, wie ausführlich er es haben will 
>
> Zusammenfassend kann man also sagen: f ist weder eine
> Schwartzfunktion (es reicht eigentlich, den limes der
> ersten ableitung zu berechnen und zu sehen, dass dieser
> nicht Null ist)
Genau, einfach weil sup |f'(x)| über [mm] \IR [/mm] nicht exisiert, reicht.
> noch schwach wachsend ist (mit dem
> Argument, dass die erste Ableitung schneller als
> polynomiell wächst, beweis krieg ich schon irgendwie hin),
Da musst du dir mal ne Definition ankucken, ich hab jetzt die hier gefunden bei 4.3.3. Und die erste Ableitung machts wieder kaputt.
> aber f definiert eine reguläre, temperierte distribution,
> was du ja gerade gezeigt hast.
Ja, ok.
Lg walde
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Danke für die Diskussion, hat mir sehr geholfen.
LG theIntegrator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Walde |
Freut mich. Ich hoffe, es stimmt auch alles so, ich bin mir selbst immer unsicher
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