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Hilfe! Also,ich hab Topologie erst seit kurzem, und deswegen absolut keine Ahnung, was da jetzt für eine Anwort erwartet wird.
Die Aufgabe:
"Zeige, dass es keine stetige Funktion f: [mm] \IR->\IR [/mm] gibt, sodass f(x)=sin(1/x) für alle x ungleich null gilt"
Mein Problem ist, außerdem, dass die Funktion für x ungleich null für mich stetig ausschaut.. oh Gott..
Wir haben Stetigkeit in einem Punkt so definiert, dass für eine Umgebung U von f(x), dann f^(-1)(U) eine Umgebung von x sein muss... bitte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wieso.. ich verstehs nicht! Die Funktion ist doch stetig für alle x ungleich 0! Bitte korrigiert mich doch, irgendwas stimmt da in meinem Gehirn nicht.. :(
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> Hilfe! Also,ich hab Topologie erst seit kurzem, und
> deswegen absolut keine Ahnung, was da jetzt für eine Anwort
> erwartet wird.
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> Die Aufgabe:
> "Zeige, dass es keine stetige Funktion f: [mm]\IR->\IR[/mm] gibt,
> sodass f(x)=sin(1/x) für alle x ungleich null gilt"
>
> Mein Problem ist, außerdem, dass die Funktion für x
> ungleich null für mich stetig ausschaut.. oh Gott..
Du musst gewissermassen zwei Funktionen unterscheiden:
Erstens die Funktion [mm] $\IR\backslash\{0\}\ni x\mapsto \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\in \IR$, [/mm] die auf ihrem gesamten Definitionsbereich [mm] $\IR\backslash\{0\}$ [/mm] stetig ist, wie Du richtig bemerkst.
Zweitens die Funktion [mm] $f:\IR\mapsto \IR$. [/mm] Diese Funktionen sollen für alle [mm] $x\neq [/mm] 0$ übereinstimmen, aber $f$ soll zusätzlich an der Stelle $x=0$ ebenfalls definiert sein.
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> Wir haben Stetigkeit in einem Punkt so definiert, dass für
> eine Umgebung U von f(x), dann f^(-1)(U) eine Umgebung von
> x sein muss... bitte..
Kann ich Dir bestätigen.
Fazit: Du hast ein kleines Detail der Aufgabenstellung übersehen, das ist alles. - Ansonsten scheinst Du voll "am Ball" zu sein 
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ui, dankeschön! so betrachtet is das ganze natürlich schon viel weniger dramatisch!!!
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