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| Aufgabe | Für [mm] k\in\mathbb{N} [/mm] betrachten wir die von den offenen Mengen im [mm] \mathbb{R}^k [/mm] erzeugte [mm] Borel-\sigma-Algebra\ \mathcal{B}(\mathbb{R}^k).
[/mm]
Sei [mm] \mathcal{A}:=\{A\subseteq\mathbb{R}| A\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist und [mm] \mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq \mathcal{A}. [/mm] |
Hallo,
ich bin langsam echt am verzweifeln, irgendwie hab ich das mit der [mm] \sigma-Algebra [/mm] noch nicht ganz drin... Unsere Definition:
Sei [mm] \Omega\not=\emptyset [/mm] eine Menge. [mm] \mathcal{A}\subset 2^{\Omega} [/mm] (=Potenzmenge) heißt [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] falls:
i) [mm] \Omega\in\mathcal{A}
[/mm]
ii) [mm] A\in\mathcal{A} \Rightarrow A^C \equiv \Omega\setminus A\in\mathcal{A}
[/mm]
iii) [mm] A_k\in\mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\in\mathcal{A}
[/mm]
Ich verstehe überhaupt nicht, was bei meiner Aufgabe [mm] \Omega [/mm] ist und wovon ich überhaupt das Komplement bilden muss.
Ich hab mir schon ein paar Beipsiele angesehen, aber das hat mir Null geholfen.
Kann mir das vielleicht jemand (für Doofe) erklären und bei der Aufgabe helfen??
Schon mal vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 04.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Kasperkopf!
> Für [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] betrachten wir die von den offenen
> Mengen im [mm]\mathbb{R}^k[/mm] erzeugte [mm]Borel-\sigma-Algebra\ \mathcal{B}(\mathbb{R}^k).[/mm]
>
> Sei [mm]\mathcal{A}:=\{A\subseteq\mathbb{R}| A\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist und
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq \mathcal{A}.[/mm]
> ich bin langsam echt am verzweifeln, irgendwie hab ich das
> mit der [mm]\sigma-Algebra[/mm] noch nicht ganz drin... Unsere
> Definition:
> Sei [mm]\Omega\not=\emptyset[/mm] eine Menge. [mm]\mathcal{A}\subset 2^{\Omega}[/mm]
> (=Potenzmenge) heißt [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf [mm]\Omega,[/mm] falls:
> i) [mm]\Omega\in\mathcal{A}[/mm]
> ii) [mm]A\in\mathcal{A} \Rightarrow A^C \equiv \Omega\setminus A\in\mathcal{A}[/mm]
>
> iii) [mm]A_k\in\mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\in\mathcal{A}[/mm]
>
> Ich verstehe überhaupt nicht, was bei meiner Aufgabe
> [mm]\Omega[/mm] ist und wovon ich überhaupt das Komplement bilden
> muss.
[mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega=\IR^n$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] ist eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega=\IR$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist ebenfalls eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega=\IR$.
[/mm]
Für (ii) musst du zeigen: Für beliebig vorgegebenes [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] ist auch [mm] $A^c=\IR\setminus A\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> Kann mir das vielleicht jemand (für Doofe) erklären und
> bei der Aufgabe helfen??
Für den Nachweis, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] tatsächlich eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR$ [/mm] ist, brauchst du nicht die genaue Definition von [mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$, [/mm] sondern nur die Tatsache, dass [mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Versuche jede der Eigenschaften (i), (ii) und (iii) für [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auf die entsprechende Eigenschaft von [mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] zurückzuführen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
erst mal vielen Dank für deine Antwort. Ein bisschen hab ichs verstanden, nur bei einer Sache bin ich nicht so ganz sicher:
> [mm] \mathcal{A} [/mm] ist ebenfalls eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega=\mathbb{R}
[/mm]
Woher weiß ich, dass die auf [mm] \mathbb{R} [/mm] ist und nicht [mm] \mathbb{R}^n [/mm] ?? Weil [mm] A\subset\mathbb{R} [/mm] in [mm] \mathcal{A} [/mm] ??
> Versuche jede der Eigenschaften (i), (ii) und (iii) für [mm] \mathcal{A} [/mm] auf die entsprechende Eigenschaft von [mm] \mathcal{B}(\IR^n) [/mm] zurückzuführen.
Okay, ich probiers mal:
i) [mm] \Omega=\mathbb{R} \in \mathcal{A} [/mm] nach Definition von [mm] \mathcal{A} [/mm] ?! Also weil das aus der [mm] \sigma-Algebra\ \mathcal{B}(\IR^n) [/mm] ist?!
ii) Sei [mm] A\in\mathcal{A}, [/mm] dann ist [mm] A^C\in\mathcal{A}, [/mm] da [mm] \mathcal{A}\in\mathcal{B}(\IR^n) [/mm] und die Komplemente nach Definition einer Sigma-Algebra enthalten sind.
iii) Seien [mm] A_k\in\mathcal{A}. [/mm] Dann ist die Vereinigung in [mm] \mathcal{A}, [/mm] weil gleiche Begründung wie bei ii).
Kann man das so machen?
Wäre super, wenn da nochmal jemand rübergucken könnte.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 05.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ein bisschen hab
> ichs verstanden, nur bei einer Sache bin ich nicht so ganz
> sicher:
>
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] ist ebenfalls eine Sigma-Algebra auf
> [mm]\Omega=\mathbb{R}[/mm]
>
> Woher weiß ich, dass die auf [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und nicht
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] ?? Weil [mm]A\subset\mathbb{R}[/mm] in [mm]\mathcal{A}[/mm] ??
Ja, [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist eine Menge von Teilmengen von [mm] $\IR$, [/mm] nicht von Teilmengen von [mm] $\IR^n$. [/mm] Es gilt somit [mm] $\mathcal{A}\subseteq 2^\IR$, [/mm] aber nicht [mm] $\mathcal{A}\subseteq 2^{\IR^n}$.
[/mm]
> > Versuche jede der Eigenschaften (i), (ii) und (iii) für
> [mm]\mathcal{A}[/mm] auf die entsprechende Eigenschaft von
> [mm]\mathcal{B}(\IR^n)[/mm] zurückzuführen.
>
> Okay, ich probiers mal:
> i) [mm]\Omega=\mathbb{R} \in \mathcal{A}[/mm] nach Definition von
> [mm]\mathcal{A}[/mm] ?! Also weil das aus der [mm]\sigma-Algebra\ \mathcal{B}(\IR^n)[/mm]
> ist?!
Was meinst du mit "das"?
Es gilt NICHT etwa [mm] $\IR\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
[mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] ist eine Menge von Teilmengen von [mm] $\IR^n$, [/mm] nicht von [mm] $\IR$.
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, gilt [mm] $\IR^n\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $\IR\times\IR^{n-1}=\{(\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n)\;|\;\omega_1\in\IR,(\omega_2,\ldots,\omega_n)\in\IR^{n-1}\}=\IR^n\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
Daher ist [mm] $\IR\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> ii) Sei [mm]A\in\mathcal{A},[/mm] dann ist [mm]A^C\in\mathcal{A},[/mm] da
> [mm]\mathcal{A}\in\mathcal{B}(\IR^n)[/mm]
[mm] $\mathcal{A}\in\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] ist Quatsch.
> und die Komplemente nach
> Definition einer Sigma-Algebra enthalten sind.
Da [mm] $A\in\mathcal{A}$, [/mm] gilt nach Definition von [mm] $\mathcal{A}$:
[/mm]
[mm] $A\times\IR^{n-1}\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\IR\setminus A\in\mathcal{A}$, [/mm] d.h.
[mm] $(\IR\setminus A)\times\IR^{n-1}\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
Begründe:
[mm] $(\IR\setminus A)\times\IR^{n-1}=\IR^n\setminus(A\times\IR^{n-1})\in\mathcal{B}(\IR^n)$.
[/mm]
> iii) Seien [mm]A_k\in\mathcal{A}.[/mm] Dann ist die Vereinigung in
> [mm]\mathcal{A},[/mm] weil gleiche Begründung wie bei ii).
In der Tat funktioniert iii) ähnlich wie ii).
Wenn du ii) verstanden hast, übertrage die Argumentation auf iii).
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Hallo Tobias,
danke nochmal.
Anscheinend hab ich das doch noch nicht verstanden... Ich werd mir noch mehr Beispiele dazu ansehen...
für iii) Seien [mm] A_k \in\mathcal{A}. [/mm] Dann gilt: [mm] (\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k)\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)=\bigcup_{k} (A_k\times\mathbb{R}^{n-1})\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n) [/mm] für alle [mm] k\in\mathbb{N}.
[/mm]
Danke auch für die Hilfe zum anderen Aufgabenteil.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Tobias,
>
> danke nochmal.
> Anscheinend hab ich das doch noch nicht verstanden... Ich
> werd mir noch mehr Beispiele dazu ansehen...
>
> für iii) Seien [mm]A_k \in\mathcal{A}.[/mm] Dann gilt:
> [mm](\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k)\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)=\bigcup_{k} (A_k\times\mathbb{R}^{n-1})\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)[/mm]
> für alle [mm]k\in\mathbb{N}.[/mm]
???
Zeigen sollst Du: aus [mm] A_1,A_2, [/mm] .... [mm] \in\mathcal{A} [/mm] folgt:
[mm] (\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k)\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n).
[/mm]
Das hast Du bislang noch nicht gezeigt !
FRED
>
> Danke auch für die Hilfe zum anderen Aufgabenteil.
>
> Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:03 Di 06.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Anscheinend hab ich das doch noch nicht verstanden... Ich
> werd mir noch mehr Beispiele dazu ansehen...
Kannst du beschreiben, was dir unklar ist? Dann kannst du gerne nachfragen!
Vermutlich hilft gründliche Auseinandersetzung mit einem Beispiel mehr als das grobe Studium vieler Beispiele.
Bei deinem Lösungsversuch für iii) kann ich schon einen korrekten Ansatz herauslesen.
Der Aufschrieb ist allerdings unverständlich:
> für iii) Seien [mm]A_k \in\mathcal{A}.[/mm]
für [mm] $k\in\IN$
[/mm]
> Dann gilt:
> [mm](\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k)\times\mathbb{R}^{n-1}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)[/mm]
Genau das musst du erst zeigen.
> [mm] $=\bigcup_{k} (A_k\times\mathbb{R}^{n-1})$
[/mm]
Du meinst
[mm] $(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k)\times\mathbb{R}^{n-1}=\bigcup_{k} (A_k\times\mathbb{R}^{n-1})$,
[/mm]
(nicht etwa [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)=\bigcup_{k} (A_k\times\mathbb{R}^{n-1})$).
[/mm]
> [mm]\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)[/mm]
Ja. Warum?
> für alle [mm]k\in\mathbb{N}.[/mm]
Streiche dies ersatzlos. Du hast nicht etwa für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] eine Aussage, sondern eine Aussage, in der alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] auf einmal vorkommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Mo 05.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Zeigen Sie, dass [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist und
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq \mathcal{A}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zu $\mathcal{B}(\IR)\subseteq\mathcal{A}$:
Vermutlich habt ihr $\mathcal{B}(\IR)$ definiert als die von den offenen Teilmengen von $\IR$ erzeugte Sigma-Algebra auf $\IR$.
Zeige nun: Jede offene Teilmengen $U\subseteq\IR$ liegt in $\mathcal{A}$ (d.h. $U\in\mathcal{A}$).
Dazu benötigst du, dass jede offene Teilmenge $V\subseteq\IR^n$ in $\mathcal{B}(\IR^n)$ liegt (d.h. $V\in\mathcal{B}(\IR^n)$).
Was bedeutet $U\in\mathcal{A}$ nach Definition von $\mathcal{A}$?
$\mathcal{A}$ ist also eine Sigma-Algebra auf $\IR$, die alle offenen Teilmengen von $\IR$ enthält.
Da $\mathcal{B}(\IR)$ die kleinste solche Sigma-Algebra ist, folgt $\mathcal{B}(\IR)}\subseteq\mathcal{A}$.
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