sgn(\pi) Homomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ach wie schön, wenn mal eben in ein paar Zeilen bewiesen wird, daß [mm]\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{-1,1\}, \pi \mapsto \produkt_{1\le i
ein Gruppenhomomorphismus ist - muß ja echt "trivial" sein, und zwar so sehr daß ichs nicht versteh :-(.
Seien also [mm] $\pi, \rho \in S_n$. [/mm] Dann ist
[mm]\begin{array}{ll}
\operatorname{sgn}(\pi\rho)&=\produkt\limits_{1\le i
Einzig Kopfschmerzen bereitet mir das linksstehende Produkt: Ich kann ja nicht einfach $i<j$ so ohne weiteres durch z.B. [mm] $\rho^{-1}(i)<\rho^{-1}(j)$ [/mm] ersetzen (damit käme wenigstens die Form [mm](\pi(j)-\pi(i))/(j-i)[/mm] heraus  ).
Vielleicht stimmt meine "Aufteilung" der Produkte ja so nicht...
Danke für Eure Tips
zahlenspieler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 So 17.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zahlenspieler,
> Hallo,
> ach wie schön, wenn mal eben in ein paar Zeilen bewiesen
> wird, daß [mm]\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{-1,1\}, \pi \mapsto \produkt_{1\le i
>
> ein Gruppenhomomorphismus ist - muß ja echt "trivial" sein,
> und zwar so sehr daß ichs nicht versteh :-(.
> Seien also [mm]\pi, \rho \in S_n[/mm]. Dann ist
> [mm]\begin{array}{ll}
\operatorname{sgn}(\pi\rho)&=\produkt\limits_{1\le i
>
> Einzig Kopfschmerzen bereitet mir das linksstehende
> Produkt: Ich kann ja nicht einfach [mm]i
> durch z.B. [mm]\rho^{-1}(i)<\rho^{-1}(j)[/mm] ersetzen (damit käme
> wenigstens die Form [mm](\pi(j)-\pi(i))/(j-i)[/mm] heraus ).
> Vielleicht stimmt meine "Aufteilung" der Produkte ja so
> nicht...
Doch, das ist schon gut.
Es gilt doch für jede Permutation [mm] $\pi$, [/mm] dass [mm] $\bruch{\pi(j)-\pi(i)}{j-i}=\bruch{\pi(i)-\pi(j)}{i-j}$
[/mm]
Weiterhin gilt, dass [mm] $\{(i,j)\ |\ 1\le i\pi(j)\}$ [/mm] oder vielleicht noch schöner [mm] $\{\{i,j\}\ |\ 1\le i
Damit sollte folgen, dass
[mm] $\produkt\limits_{1\le i
für alle [mm] $\rho\in S_n$
[/mm]
Bestimmt geht es aber noch viel eleganter
Viele Grüße,
Marc
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> Hallo zahlenspieler,
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> > Hallo,
> > ach wie schön, wenn mal eben in ein paar Zeilen
> bewiesen
> > wird, daß [mm]\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{-1,1\}, \pi \mapsto \produkt_{1\le i
>
> >
> > ein Gruppenhomomorphismus ist - muß ja echt "trivial" sein,
> > und zwar so sehr daß ichs nicht versteh :-(.
> > Seien also [mm]\pi, \rho \in S_n[/mm]. Dann ist
> > [mm]\begin{array}{ll}
\operatorname{sgn}(\pi\rho)&=\produkt\limits_{1\le i
>
> >
> > Einzig Kopfschmerzen bereitet mir das linksstehende
> > Produkt: Ich kann ja nicht einfach [mm]i
> > durch z.B. [mm]\rho^{-1}(i)<\rho^{-1}(j)[/mm] ersetzen (damit käme
> > wenigstens die Form [mm](\pi(j)-\pi(i))/(j-i)[/mm] heraus ).
> > Vielleicht stimmt meine "Aufteilung" der Produkte ja so
> > nicht...
>
> Doch, das ist schon gut.
>
> Es gilt doch für jede Permutation [mm]\pi[/mm], dass
> [mm]\bruch{\pi(j)-\pi(i)}{j-i}=\bruch{\pi(i)-\pi(j)}{i-j}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
>
> Weiterhin gilt, dass [mm]\{(i,j)\ |\ 1\le i\pi(j)\}[/mm]
> oder vielleicht noch schöner [mm]\{\{i,j\}\ |\ 1\le i
Schön wär's ; aber nimm z.B. [mm] $S_3$ [/mm] und [mm] $\pi=(2,3)$. [/mm] Dann
[mm]{(1,2), (1,3), (2,3)} \mapsto {(1,2), (1,3), (3,2)}[/mm]; also als Mengen geordneter Paare nicht gleich.
>
> Damit sollte folgen, dass
>
> [mm]\produkt\limits_{1\le i
>
> für alle [mm]\rho\in S_n[/mm]
>
> Bestimmt geht es aber noch viel eleganter
Bestimmt ; habe erst vor ein paar Tagen etwas äußerst nettes gefunden: Da wurde das Signum über die Orientierung auf einem "Permutationsgraphen" definiert. - Aber zurück zu Deinen Paaren: Ich entsinne mich dunkel, so was in einem andern Buch (im Zusammenhang mit dem Signum) schonmal gesehn zu haben.
Nun gut, manchmal hilft auch "gären lassen" .
Mfg
zahlenspieler
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 17.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zahlenspieler,
> > Weiterhin gilt, dass [mm]\{(i,j)\ |\ 1\le i\pi(j)\}[/mm]
> > oder vielleicht noch schöner [mm]\{\{i,j\}\ |\ 1\le i
>
> Schön wär's ; aber nimm z.B. [mm]S_3[/mm] und [mm]\pi=(2,3)[/mm]. Dann
> [mm]{(1,2), (1,3), (2,3)} \mapsto {(1,2), (1,3), (3,2)}[/mm]; also
> als Mengen geordneter Paare nicht gleich.
Ich sehe da kein Gegenbeispiel. Mit meiner Zerlegung ergibt sich
[mm] $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}=\{(1,3),(1,2)\}\ \cup\ \{(2,3)\}$
[/mm]
und das ist gleich
Auch die Darstellung mit Mengen stimmt:
[mm] $\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}=\{\{\pi(1),\pi(2)\},\{\pi(1),\pi(3)\},\{\pi(2),\pi(3)\}\}=\{\{1,3\},\{1,2\},\{3,2\}\}$
[/mm]
ist auch gleich
Viele Grüße,
Marc
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