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separierbare DGL: DGL, Betrag
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Di 16.08.2011
Autor: paulpanter

Aufgabe
Guten Mittag,

ich will diese DGL lösen:

y' = [mm] (y+1)*\bruch{1}{(x+1)*(x+2)} [/mm]

Das heißt es soll die allgmeine Lösung angegeben werden.

Ich sehe diese DGL ist separierbar. Also trenne ich die Variablen und integriere mit der Substitution u = y. Dann Komme ich auf diesen Term:


ln|y+1| = ln|x+1| - ln|x+2| + c, [mm] c\in \IR [/mm]

[mm] e^{ln|y+1|} [/mm] = [mm] e^{ln|x+1|-ln|x+2|+c} [/mm]

|y+1| = [mm] \bruch{ln|x+1}{ln|x+2|}*e^c [/mm]

Stimm das soweit? Jetzt stören mich die Beträge wie bekomme ich die weg, ich muss ja nach y auflösen :(
Ich muss hier circa. 200 Fallunterscheidungen machen? :(

        
Bezug
separierbare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Di 16.08.2011
Autor: schachuzipus

Hallo paulpanter,


> Guten Mittag,
>  
> ich will diese DGL lösen:
>  
> y' = [mm](y+1)*\bruch{1}{(x+1)*(x+2)}[/mm]
>  
> Das heißt es soll die allgmeine Lösung angegeben werden.
>  Ich sehe diese DGL ist separierbar. Also trenne ich die
> Variablen und integriere mit der Substitution u = y. Dann
> Komme ich auf diesen Term:
>  
>
> ln|y+1| = ln|x+1| - ln|x+2| + c, [mm]c\in \IR[/mm] [ok]
>  
> [mm]e^{ln|y+1|}[/mm] = [mm]e^{ln|x+1|-ln|x+2|+c}[/mm] [ok]
>  
> |y+1| = [mm]\bruch{ln|x+1}{ln|x+2|}*e^c[/mm] [notok]

Was ist da rechterhand passiert?

Wie war das mit den Potenzgesetzen noch gleich?

Alternativ wende zunächst die Rechenregel für den Logarithmus an:

[mm] $\ln(a)-\ln(b)=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ [/mm]

Dann alles "e hoch" ...

>  
> Stimm das soweit? Jetzt stören mich die Beträge wie
> bekomme ich die weg, ich muss ja nach y auflösen :(
>  Ich muss hier circa. 200 Fallunterscheidungen machen? :(

Nee, nur 194 ...

Du kannst dir die Konstante rechterhand einfach passend definieren, um die Beträge loszuwerden.


Gruß

schachuzipus




Bezug
                
Bezug
separierbare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Di 16.08.2011
Autor: paulpanter

Warum reicht es die Konstante anzupassen? Kann ich hier nicht einfach eine klasische Fallunterscheidung machen, aber die wird dann sehr Umfangreich oder?

Bezug
                        
Bezug
separierbare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Di 16.08.2011
Autor: MathePower

Hallo paulpanter,

> Warum reicht es die Konstante anzupassen? Kann ich hier


Durch Einsetzen der Anfangsbedingung erhälst Du aus

[mm]\ln\vmat{y+1} = \ln\vmat{x+1} - \ln\vmat{x+2} + c, \ c\in \IR[/mm]

die Konstante c.


> nicht einfach eine klasische Fallunterscheidung machen,
> aber die wird dann sehr Umfangreich oder?


Sicher kannst Du hier eine klassische Fallunterscheidung machen.
Das sind hier gerade mal 6 Fälle, die Du untersuchen musst.


Gruss
MathePower

Bezug
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