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| Aufgabe | Berechne das Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{(e^{x}-1)x^{2}} dx} [/mm] |
Das Integral habe ich eigentlich eher aus Spaß und als Selbsttest versucht zu lösen.
Alternativ kann man natürlich die Stammfunktion bzw. das Integral
[mm] \integral{\bruch{1}{(e^{x}-1)x^{2}} dx}
[/mm]
berechnen.
Was ich bisher versucht habe:
partielle Integration: Wenn man den Integrand als Produkt [mm] \bruch{1}{e^{x}-1}*\bruch{1}{x^{2}}auffast [/mm] kann man die partielle Integration anwenden. Aber ich schätze das bringt nicht so viel, da nur der zweite Bruch durch Integration vereinfacht wir, aber der erste Bruch dadurch kompliziert wird.
Substitution: Hier habe ich in ein paar Formelsammlungen und Mathebüchern nachgeguckt, ob es sich hier um eine Standardsubstitution handelt, hab aber nichts gefunden. Dann habe ich selbst die ein- oder andere Substitution ausprobiert, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.
Liegt das jetzt daran, dass meine Integrationsfähigkeiten extrem eigerostet sind oder ist es wirklich schwierig dieses Integral zu bestimmen?
Im ersten Fall wäre es nett, wenn mir jemand einen Ansatz sagen könnte.
freue mich schon auf Vorschläge,
mit freundlichen Grüßen hawkingfan
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Also da nichtmal Mathematica das Ding lösen kann und für das uneigentliche Integral einen numerischen Näherungswert angibt, behaupte ich mal, das geht so nicht.
Wie kommst du denn auf dieses Integral?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Sa 15.05.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Eigentlich habe ich es mir ausgedacht, wenigstens so halb. Ich habe die Aufgabe (oder eine ähnliche) im Internet gesehen und hab dann gesehen, dass ich die Lösung bzw. den Lösungsweg nicht auf den ersten Blick wusste. Da ich nach was anderem gesucht hatte habe ich dann nicht länger draufgeguckt. Dann habe ich mich ein paar Tage später am Wochenende, als ich mal Zeit hatte versucht zu erinnern und glaubte, dass dies das Integral war. Wahrscheinlich habe ich mich gerirrt, aber trotzdem würde mich jetzt interessieren, wie man das Integral ausrechnet, weil dieses Integral irgendwie so einfach aussieht.
Ganz nebenbei:
Welchen Näherungswert hat Mathematica denn ausgespuckt?
mit freundlichen Grüßen
hawkingfan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Sa 15.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man kann sich leicht und schnell ne unmenge von Integralen "ausdenken" die man nicht mit einfachen sog. lementaren funktionen lösen kann. viele davon enthalten [mm] e^x [/mm] oder [mm] e^{f(x)}
[/mm]
Es ist immer wieder erstaunlich, warum so viele leute glauben, wenn sie irgendwas hinschreiben hätte das ne "einfache" Lösung. Ich denk, das ist auch hier so.
gruss leuart
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Dass [mm] x*e^x [/mm] o.ä. immer Probleme beim Integrieren macht ist mir schon bekannt.
Es muss ja auch keine "einfache" Lösung sein, ´ne schwierige wär´mir auch recht.
gruß hawkingfan
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Hallo, hier kannst du doch ganz einfach partielle Integration machen, Steffi
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Bringt das irgendetwas? Was ist im Integral u und was ist v´?
gruß hawkingfan
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u = x
v' = [mm] e^x
[/mm]
Und schon ists Integral gelöst....
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Moment mal, dann [mm] (v´=e^x [/mm] und u=x) haben wir:
[mm] \integral{x*e^x}dx
[/mm]
Oder was genau meinst du?
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> Moment mal, dann [mm](v´=e^x[/mm] und u=x) haben wir:
> [mm]\integral{x*e^x}dx[/mm]
Wieso haben wir?
Du meintest doch:
> Dass $ [mm] x\cdot{}e^x [/mm] $ o.ä. immer Probleme beim Integrieren macht ist mir schon bekannt.
Und nein, es macht keine Probleme, wenn du [mm]\integral{x*e^x}dx[/mm] berechnen willst, geht das mit partieller Integration, indem du u = x und v' = [mm] e^x [/mm] setzt.
Mach das mal und wende die Formel der partiellen Integration an.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Sa 15.05.2010 | | Autor: | hawkingfan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ah ok, ich dachte du meintest das Integral
\integral{\bruch{1}{(e^x-1)*x^2}
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> Also da nichtmal Mathematica das Ding lösen kann und für
> das uneigentliche Integral einen numerischen Näherungswert
> angibt, behaupte ich mal, das geht so nicht.
nichtmal Mathematica?
Ich kenns mich nicht so mit Mathematica auf (habs selber nie benutzt), weiß nur, dass der Wolfram Integrator, der ja wohl auf Mathematica basiert, die meisten Integrale, die ich ihm gebe ausrechnet (d.h.: bisher alle; mit diesem habe ich es bei dem Integrator noch nicht probiert, weil er keine Ansätze gibt sondern im Wesentlichen ein paar Zahlen ausspuckt – dieses Integral wollte ich, wenigstens zum Teil, selber knacken.
Meine Frage ist jetzt: Gibt es viele Integrale, die man als Mensch relativ schnell hinkriegt, ohne Gauß zu sein, die Mathematica nicht hinkriegt oder sind die eine totale Seltenheit?
Mit anderen Worten: Ist das Integral deshalb für mich unberechenbar oder kann es sein, dass man trotzdem irgendwie ans Ziel kommt?
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Hiho,
> Meine Frage ist jetzt: Gibt es viele Integrale, die man
> als Mensch relativ schnell hinkriegt, ohne Gauß zu sein,
> die Mathematica nicht hinkriegt oder sind die eine totale
> Seltenheit?
Öhm, ich würde sogar behaupten, du wirst keins finden.
Einzig wenn es Einschränkungen zum Integranten gibt, die du formal nicht dem Programm vermitteln kannst, die das Integral für den Menschen dann aber recht einfach machen, weil es sich bspw. gut abschätzen lässt.
> Mit anderen Worten: Ist das Integral deshalb für mich
> unberechenbar oder kann es sein, dass man trotzdem
> irgendwie ans Ziel kommt?
Also rein theoretisch kann es ja sein, dass du einen Lösungsweg findest, den bisher niemand gefunden hat und der deswegen in keinem Programm implementiert ist.
Die Möglichkeit wollen wir nicht ausschließen und darum darfst du uns hier gern mit Ideen bombardieren, sofern du welche hast.
MFG,
Gono.
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