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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:17 So 05.06.2005 | | Autor: | frodoSN |
Hallo! wär toll wenn einer diese Auffgabe lösen könnte. sie ist aus dem MAthe ABI Meck-Pomm LK 2005.
Es geht um ein Bierglas. die letzte teilaufgabe lautet:
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Der Abbau des Bierschaums kurz nach dem Einschenken kann durch die Funktion S mit der Gleichung
S(t) = S(0) * [mm] e^{k*t} [/mm] , t in Minuten, k [mm] \in [/mm] R
beschrieben werden.
S(t) ist die zum Zeitpunkt t vorhandene Schaummenge.
Für die Abnahme des Schaums soll gelten: [mm] \bruch{S`(t)}{S(t)} [/mm] = ln 0.631
Berechnen Sie, nach welcher Zeit weniger als 10% des ursprünglichen Schaums vorhanden sind.
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S(0) ist also die Schaummenge im moment nach dem einschenken.
0,1 * S(0) > S(0) * [mm] e^{k*t} [/mm] --> 0,1 > [mm] e^{k*t}
[/mm]
das t in dieser ungleichung muss bestimmt werden. ich hab keine ahnung was k ist und wie man es weg kriegt. man kann es über die andere Beziehung mit S(0) ausdrücken. hat mir aber auch nicht zum durchbruch verholfen.
vielleicht kriegt ja jemand die aufgabe hin
mfg
frodo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 So 05.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo frodoSN,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dieser Wert $k$ ist ein Parameter und gibt an, wie schnell der Schaum abgebaut wird (im Vergleich zur "normalen" e-Funktion [mm] $e^t$ [/mm] ).
Nun zur Ermittlung:
Bilde mal zunächst die Ableitung $S'(t)$ der Funktion $S(t) \ = \ [mm] S_0*e^{k*t}$ [/mm] und setze einfach in die vorgegebene Beziehung [mm] $\bruch{S'(t)}{S(t)} [/mm] \ = \ [mm] \ln(0,631)$ [/mm] ein.
Da hast Du ganz schnell den Paramter $k$ und kannst anschließend die gesuchte Zeit [mm] $t_{10\%}$ [/mm] berechnen.
Also, wie lautet Deine Ableitung $S'(t) \ = \ ...$ ?
Außerdem mußt Du hier bestimmen: [mm] $0,1*S_0 [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] S_0*e^{k*t}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 05.06.2005 | | Autor: | frodoSN |
aber muss nicht t ermittelt werden für den fall das der wert der funktion weniger als 10% des ausgangsschaums wird? also:
0,1 * S(0) > S(0) * [mm] e^{k*t}
[/mm]
außerdem ist meine ableitung S`(t) = [mm] e^{k*t}* [/mm] (1+ S(0)*k)
ich weiß das man k über diese beziehung in abhängigkeit von S(0) ausdrücken kann was mich schließlich auf die ungleichung
[mm] \bruch{ln 0,1}{ln 0,631- \bruch{1}{S(0)}} [/mm] > t
bringt. aber viel weiter bringt einen das auch nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 05.06.2005 | | Autor: | raimund |
deine ableitung ist falsch. denk daran dass S(0) eine konstante ist und leite nach der kettenregel ab. (kt ist die innere funktion)
wenn du richtig ableitest merkst du dass S(0) sich in der beziehung
$ [mm] \bruch{S'(t)}{S(t)} [/mm] \ = \ [mm] \ln(0,631) [/mm] $
rauskürzt und somit k unabhängig von S(0) ist (was ja eigentlich einleuchtet)
versuchs nochmal. wenn du noch weitere fragen hast kannst du sie ja stellen.
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hm,die Ableitung muss doch lauten: = S(0)*k * $ [mm] e^{k\cdot{}t} [/mm] $ ...wenn du das in die Beziehung einsetzt,kürzt sich doch alles bis aufs k raus,demnach hast du k...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 05.06.2005 | | Autor: | frodoSN |
jo stimmt hab mich da gerstern abend wohl etwas vertan bei der ableitung.
ich komme auf eine zeit von 5 minuten nach der nur noch 10% des schaums vorhanden sind.
kann ja mal einer nachrechnen. danke für die hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 05.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo frodoSN!
> ich komme auf eine zeit von 5 minuten nach der nur noch 10%
> des schaums vorhanden sind.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt, das habe ich auch erhalten ...
Gruß
Loddar
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