schwache/starke Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mo 27.06.2011 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Sei X ein Banachraum und sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge in X, welche schwach gegen ein $ [mm] x_{0}\in [/mm] X $ konvergieren derart, dass alle Folgenglieder in einem Kompaktum K bezüglich der Normtopologie liegen. Zeigen Sie, dass dann [mm] (x_{n}) [/mm] auch stark gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergiert |
Heyho!
Nach Voraussetzung gilt [mm] f(x_{n})\to f(x_{0}) \forall f\in X^{\star}
[/mm]
Wie kriegt man damit denn nun [mm] ||x_{n}-x_{0}|| [/mm] abgeschätzt?
[mm] ||x_{n}-x_{0}||
[/mm]
[mm] =max_{||f||\le 1}[f(x_{n}-x_{0})]
[/mm]
[mm] =max_{||f||\le 1}[f(x_{n})-f(x_{0}]
[/mm]
So das in den eckigen Klammern geht nun gegen 0, warum aber auch das Maximum davon? Hat dann bestimmt mit der Kompaktheit zu tun...wie argumentiert man hier sauber?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Di 28.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein Banachraum und sei [mm](x_{n})[/mm] eine Folge in X,
> welche schwach gegen ein [mm]x_{0}\in X[/mm] konvergieren derart,
> dass alle Folgenglieder in einem Kompaktum K bezüglich der
> Normtopologie liegen. Zeigen Sie, dass dann [mm](x_{n})[/mm] auch
> stark gegen [mm]x_{0}[/mm] konvergiert
> Heyho!
>
> Nach Voraussetzung gilt [mm]f(x_{n})\to f(x_{0}) \forall f\in X^{\star}[/mm]
>
> Wie kriegt man damit denn nun [mm]||x_{n}-x_{0}||[/mm] abgeschätzt?
>
> [mm]||x_{n}-x_{0}||[/mm]
> [mm]=max_{||f||\le 1}[f(x_{n}-x_{0})][/mm]
> [mm]=max_{||f||\le 1}[f(x_{n})-f(x_{0}][/mm]
>
> So das in den eckigen Klammern geht nun gegen 0, warum aber
> auch das Maximum davon? Hat dann bestimmt mit der
> Kompaktheit zu tun...wie argumentiert man hier sauber?
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] liegt in der kompakten Menge k. Also enthält sie eine konvergente Teilfolge.
Zeige: 1. diese Teilfolge konv. stark gegen [mm] x_0.
[/mm]
2. Die Folge [mm] (x_n) [/mm] konv. stark gegen [mm] x_0.
[/mm]
FRED
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