satz des pappos < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
| Aufgabe | | wie kann man den satz des pappos für die affine ebene formulieren und beweisen? |
ich habe heute staatsexamensklausur geschrieben. diese frage war eine von den aufgaben. morgen ist das mündliche nachgespräch zur klausur. wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo,
das kannst Du doch bestimmt nachschlagen!
Einmal mit Worten formuliert: eine affine Ebene heißt pappussch bzw. sie erfüllt das Axiom von Pappos, wenn gilt: liegen 6 Punkte abwechselnd auf zwei verschiedenen Geraden, jedoch keiner von ihnen auf beiden gleichzeitig, dann gilt für das durch sie gebildete Sechseck: sind zwei Paare von Gegenseiten jeweils parallel, dann auch das dritte Paar.
Es gibt affine Ebenen, in denen das Axiom von Pappos nicht gilt, z.B. die Moulton-Ebene. Vmtl. war eine bestimmte affine Ebene gemeint, z.B. eine affine Koordinatenebene über einem kommutativen Körper.
Evtl. zitiere hier also einmal, was ihr unter einer affinen Ebene versteht, wenn es sich nicht um ganz allgemeine affine Ebenen handelt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
danke erstmal!
also, leider haben wir affine Ebenen gar nicht gemacht. Die Vorlesung (über die ich dann auch die klausur geschrieben habe) ging um euklidische Geometrie und um projektive Geometrie. darum wusste ich auch gar nicht, was in der klausur von mir verlangt war. wir hatten den satz von pappos nur in der Form, dass wenn man diese bestimmten verbindungsgeraden schneidet, die punkte auf einer geraden liegen.
den satz, den du mir zitiert hast, den habe ich auch nachgeschlagen. in dieser form habe ich noch nie etwas von ihm gehört. darum habe ich den satz des pappos (so wie ich ihn kenne) in der klausur bewiesen :(
aber er wollte es ja irgendwie in einer affinen ebene haben, genauere angaben zu dieser ebene hat er nicht gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
ach ja, mir fällt gerade ein, er hat zusätzlich in der aufgabe angegeben, dass die beiden geraden l und m parallel zueinander liegen sollen.
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Hallo,
anscheinend hattest Du vorher den projektiven Satz von Pappus gehört. In diesem Fall, dass die beiden Geraden, welche diese 6 Punkte enthalten, parallel sind, nennt man den Satz übrigens den kleinen Satz von Pappus.
Den kleinen Satz von Pappus kann man ganz allgemein beweisen, indem man ihn aus dem kleinen Satz von Desargues folgert. Dabei erweitert man die kleine Pappuskonfiguration um Hilfgeraden/-punkt und wendet den kleinen Satz von Desargues auf geeignete Dreiecke an, um die geforderte Parallelität zu zeigen.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Tini21 |
kann ich also den satz von pappus nicht mit dem satz von menelaos beweisen, also zeigen, dass diese Schnittpunkte auf einer geraden liegen?
ich muss also irgendwie beweisen, dass diese Verbindungsgeraden parallel liegen? (also gibt es sozusagen 2 sätze von pappus, einmal mit den schnittpunkten auf einer geraden und einmal mit diesen parallelen?)
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Hallo,
den Satz von Menelaos könnte man für den projektiven Pappos verwenden. Im affinen Pappos geht es aber um Parallelität, nicht um Kollinearität der Schnittpunkte.
Ja, das sind sozusagen zwei Versionen des Satzes von Pappos: einmal die affine und einmal die projektive Version.
Im Fall des affinen Pappos, wo sogar die Geraden parallel sind ("kleiner Pappos"), würde ich den Satz mit dem "kleinen Desargues" beweisen.
Gute Bücher in diesem Zusammenhang sind Karzel, Sörensen, Windelberg: "Einführung in die Geometrie" und Rolf Lingenberg: "Grundlagen der Geometrie". Ersteres ist abstrakter, letzteres m.E. leichter lesbar. Insbesondere in letzterem werden die Zusammenhänge der ebenen Schließungssätze (Desargues, Pappos) sehr gut dargestellt.
Viele Grüße,
Stefan
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