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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Di 18.10.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Wir definieren [mm] f:[0,1]\to\mathbb{R} [/mm] durch [mm] f(x)=\begin{cases}
x & ,\mbox{falls }x=\frac{1}{n},n\in\mathbb{N}\backslash\{0\},\\
0, & \mbox{sonst}.\end{cases}
[/mm]
Man zeige, dass f integrierbar im Riemannschen Sinne ist und, dass [mm] \int_{0}^{1}f(x)dx=0. [/mm] |
Hallo,
unsere Definition der Riemann-Integrierbarkeit lautet wie folgt:
[mm] \forall\varepsilon>0\exists Z\subset D([0,1]):\mathcal{O}(f,Z)-\mathcal{U}(f,Z)<\varepsilon,
[/mm]
wobei Z eine Zerlegung und D([0,1]) die Menge aller Unterteilungen von [0,1] ist und [mm] \mathcal{O}(f,Z)=\sum_{j=1}^{n}(z_{j-1}-z_{j})\underset{x\in[z_{j-1},z_{j}]}{\inf}f(x), [/mm] sowei
[mm] \mathcal{U}(f,Z)=\sum_{j=1}^{n}(z_{j-1}-z_{j})\underset{x\in[z_{j-1},z_{j}]}{\sup}f(x).
[/mm]
Ich habe nun ein paar Probleme bei der Formulierung. Die Untersumme sollte sowieso immer Null sein, denn gebe ich mir eine beliebige Unterteilung [mm] Z:0=z_{0}
Die macht also keine Probleme. Nur die Obersumme. Ich komme nicht so recht darauf, wie die Unterteilung in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] aussehen sollte, sodass ich die Definition dann nachweisen kann. Könnte mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Di 18.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Wähle das erste Intervall von 0 bis [mm] $z_1$ [/mm] so, daß es die Fläche [mm] $\varepsilon/2$ [/mm] hat. Außerhalb des Intervalls ist die Funktion nur an *endlich vielen* Stellen ungleich 0 und deshalb ist es nicht schwer, dort einfach eine Unterteilung zu finden, die fein genug ist.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Di 18.10.2011 | | Autor: | Unk |
> Hi,
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> Wähle das erste Intervall von 0 bis [mm]z_1[/mm] so, daß es die
> Fläche [mm]\varepsilon/2[/mm] hat. Außerhalb des Intervalls ist
> die Funktion nur an *endlich vielen* Stellen ungleich 0 und
> deshalb ist es nicht schwer, dort einfach eine Unterteilung
> zu finden, die fein genug ist.
>
> ciao
> Stefan
Hallo, mag sein, dass die Aufgabe wirklich einfach ist, aber diese blöde Unterteilung sehe ich einfach nicht. Mit "Intervallfläche" meinst du dann wahrscheinlich den ersten Summanden der Obersumme. Ich könnte ja irgendwie schon [mm] $z_0=0, z_1=\varepsilon/2$ [/mm] wählen, dann wäre die "Fläche" kleiner als [mm] $\varepsilon/2$. [/mm] Ich krieg dann am Ende immer Probleme mit den letzten Teilen der Zerlegung. [mm] $z_n$ [/mm] sollte ja 1 sein. Dann ist schon die Frage, wie ich [mm] $z_{n-1}$ [/mm] in Abhängigkeit von n und [mm] $\varepsilon$ [/mm] setze, s.d. ich das mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] abschätzen kann.
Ich hatte schon irgendwie [mm] $z_k=\frac{n-k}{n}\varepsilon$ [/mm] versucht, aber das hilft ja nicht. Es muss irgendwie komplizierter sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ueberlege dass du zwischen [mm] 1/2+\epsilon [/mm] und 1 kein 1/n hast ebenso hast du oberhalb von 1/n [mm] n>\epsilon [/mm] nur endlich viele 1/n, etwa [mm] \epsilon=1/1000, [/mm] nur 1000 stellen, machst du um die die Intervalle [mm] \epsilon/1000 [/mm] hast du insgesamt [mm] 2\epsilon.
[/mm]
nun mach das allgemein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Unk |
Also die letzte Antwort war irgendwie so lose und ohne Punkt und Komma aufgeschrieben, dass sie mich fast noch mehr verwirrt hat. Sicher, wenn man das ganze schon kennt, ist es einfach, trotzdem bleibts für mich zunächst noch schwer.
Ich hab jetzt also noch was versucht und zwar [mm] z_0=0, z_1=$\varepsilon/n$, z_2=$2\varepsilon/n$,...,z_{n-1}=(n-1)\varepsilon/n, z_n=1/2, z_{n+1}=1/2+$\varepsilon/n$,...,z_{2n}=1.
[/mm]
Aber naja hier ist halt das Problem, dass auch [mm] $z_{n}-z_{n-1}<\varepsilon/n$ [/mm] sein soll für die Abschätzung nachher. Aus dieser Bedingung bekomme ich aber keine Einschränkung an n.
Irgendwie ist das doch alles Mist.
Mir ist schon klar, dass ich im Wesentlichen nur das Intervall [0,1/2] unterteilen muss, aber ich sehe wirklich nicht wie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mi 19.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du denn die fkt für x>0.1 mal skizzieren? wieviele Stellen hast du daann an denen f(x)=1 ist sind? dann mach das in Gedanken weiter für x>1/1000 dann für [mm] x>\epsilon/2
[/mm]
Beispiel für [mm] \epsilon [/mm] =1/10
Erstes intervall von 0 bis 1/20, danach hast du 20 isolierte Stellen [mm] x_i, [/mm]
Dann wähl deine Unterteilung so, dass alle Intervalle um die Stellen [mm] f(x_i)=1 [/mm] 1 /40 gross sind. dann hast du als Obersumme 1/20+20*1/40=1/10 wie gesucht.
Grus leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 20.10.2011 | | Autor: | Unk |
Also ich checke es leider immer noch nicht so ganz, sorry.
> Hallo
> kannst du denn die fkt für x>0.1 mal skizzieren?
> wieviele Stellen hast du daann an denen f(x)=1 ist sind?
f(x) ist ja 1/n, wenn es nicht 0 ist, also quasi nur an einer Stelle, aber mir ist schon klar wie du das meinst.
> dann mach das in Gedanken weiter für x>1/1000 dann für
> [mm]x>\epsilon/2[/mm]
> Beispiel für [mm]\epsilon[/mm] =1/10
> Erstes intervall von 0 bis 1/20, danach hast du 20
> isolierte Stellen [mm]x_i,[/mm]
> Dann wähl deine Unterteilung so, dass alle Intervalle um
> die Stellen [mm]f(x_i)=1[/mm] 1 /40 gross sind. dann hast du als
Das ist noch ein Problem.
> Obersumme 1/20+20*1/40=1/10 wie gesucht.
Das stimmt ja leider so nicht. Die Gleichung ist falsch. Wie sollte es denn eigtl. aussehen? 1/10+2*1/40? Wie käme dann die 2 zustande?
> Grus leduart
>
Ich dachte mir jetzt ich wähle [mm] $n\geq 2/\varepsilon$. [/mm] Und mache dann den Anfang so, dass [mm] z_0=0, z_1=1/n.
[/mm]
Dann wäre am Ende der erste Summand der Obersumme kleiner gleich [mm] 1/n<\varepsilon/2. [/mm] Aber jetzt kommt das Problem, wie es weitergeht.
Ich weiß einfach nicht, wie [mm] z_2 [/mm] aussehen soll, so dass es nachher eine vollständige Unterteilung des Intervalls [0,1] wird. Ich kann doch nicht einfach [mm] z_2=1/n+\varepsilon/4 [/mm] oder sonst was machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 20.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte einen Fehln angaben da ja f(1/n)=1/n und ncht wie ich annahm 1 ist.
also genauer wieder mit [mm] \epsilon=1/10
[/mm]
[mm] z_0=0 z_1=\\epsilon/2=1/20
[/mm]
dann hast du 20 stellen oberhalb [mm] z_1 [/mm] wo f(x)=1/19, 1/18...1/2, 1 ist
also die Obersumme =Intervallänge*[mm]\summe_{i=1}^{19} 1/i<20 **Intervallaenge \text{ oder ne bessere Abschätzung }[/mm] also musst du nur die Intervalllänge da anpassen. oder einfach die summe in deine Intervallänge reinschreiben.
Gruss leduart
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