richtungsableitungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Fr 15.04.2005 | | Autor: | crowmat |
Zu dem Thema hab ich direkt mehrere fragen:
1.) Wie zeig ich das eine richtungsableitung einer funktion an einer angegebenen stelle existiert? Wenn ich z.B. f(x,y,z):= [mm] z+ye^{x} [/mm] gegeben habe und ich einen vektor x mit (0,1,2) gegeben habe und in richtung des vektors w = (0,3,4) die richtungsableitung bilden soll?
2.)wie zeige ich folgendes: Wenn f: G [mm] \subset \IR^{p} \to \IR [/mm] differenzierbar x [mm] \in [/mm] G und grad f(x) [mm] \not=0 [/mm] ist, existieren richtungen v, mit
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(x)=0. [/mm] wie liegen diese richtungen zur richtung des steilsten anstiegs?(senkrecht oder??)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo crowmat,
> Zu dem Thema hab ich direkt mehrere fragen:
> 1.) Wie zeig ich das eine richtungsableitung einer funktion
> an einer angegebenen stelle existiert? Wenn ich z.B.
> f(x,y,z):= [mm]z+ye^{x}[/mm] gegeben habe und ich einen vektor x mit
> (0,1,2) gegeben habe und in richtung des vektors w =
> (0,3,4) die richtungsableitung bilden soll?
[mm] $\frac{\partial f}{\partial w}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+hw)-f(x)}{h}$
[/mm]
Oder du nutzt die partiellen Ableitungen [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i}$, [/mm] da ja [mm] $\frac{\partial f}{\partial w}(x)=\left< \grad f(x); w\right>$.
[/mm]
>
> 2.)wie zeige ich folgendes: Wenn f: G [mm]\subset \IR^{p} \to \IR[/mm]
> differenzierbar x [mm]\in[/mm] G und grad f(x) [mm]\not=0[/mm] ist,
> existieren richtungen v, mit
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(x)=0.[/mm] wie liegen diese
> richtungen zur richtung des steilsten anstiegs?(senkrecht
> oder??)
Wenn [mm] $\grad [/mm] f(x) [mm] \neq [/mm] 0$ gibt es Vektoren $v$ mit [mm] $\left<\grad f(x); v\right>=0$. [/mm] Also senkrecht.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Sa 16.04.2005 | | Autor: | crowmat |
also ehrlich gesagt weiß ich immer noch nicht ganz wie ich nun zeige das die richtungsableitungen existieren!Kann ich einfach sagen wenn ich partiellen ableitungen existieren, dann existiert auch die richtungsableitung?
KÖnnte mir jemand mal ein konkretes Beispiel dafür angeben?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Marc |
Mitgliedschaft des Users wegen Anlegen von Doppel-Accounts beendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Fr 15.04.2005 | | Autor: | crowmat |
mmmh also ehrlich gesagt weiß ich immer noch nicht wie ich den beweis jetzt machen soll!hast du noch einen tip für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo crowmat!
Schau mal in den Quelltext von Max. Dann siehst du, dass ein paar Mal ein "grad" verloren gegangen ist.
Ist $grad(f(x)) [mm] \ne [/mm] 0$, dann hat [mm] $\langle [/mm] grad(f(x)) [mm] \rangle$ [/mm] ein $(p-1)$-dimensionales orthogonales Komplement.
Klar: $grad(f(x))$ spannt ja eine "Gerade" (einen eindimensionalen Unterraum) auf; und die hat im [mm] $\IR^p$ [/mm] ein $(p-1)$-dimensionales orthogonales Komplement.
Sei nun $v$ aus diesem orthogonalen Komplement. Dann gilt nach Definition:
[mm] $\langle [/mm] v, grad(f(x)) [mm] \rangle [/mm] =0$.
Weiterhin gilt aber nach Definition der Richtungsableitung
[mm] $\frac{\partial f}{\partial v}(x) [/mm] = [mm] \langle [/mm] v, grad(f(x)) [mm] \rangle$.
[/mm]
So ist die Richtungsableitung nun eben mal definiert! 
Also folgt für alle $v$ aus dem orthogonalen Komplement von [mm] $\langle [/mm] grad(f(x)) [mm] \rangle$:
[/mm]
[mm] $\frac{\partial f}{\partial v}=0$.
[/mm]
Die Umkehrung gilt aber auch, weil wir nur Äquivalenzumformungen durchgeführt haben.
Gilt also:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial v}=0$,
[/mm]
so liegt $v$ im orthogonalen Komplement von [mm] $\langle [/mm] grad(f(x)) [mm] \rangle$.
[/mm]
Da aber $grad(f(x))$ bekanntlich in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt (hattet ihr diesen Satz schon?), liegen alle $v [mm] \in \IR^p$ [/mm] mit [mm] $\frac{\partial f}{\partial v}=0$ [/mm] orthogonal zur Richtung des steilsten Anstiegs.
Viele Grüße
Julius
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