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residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Sa 19.05.2007
Autor: victoria5

Aufgabe
Man berechne mittels des Residuensatzes: [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{dx}{x^4 + 16}} [/mm]

Da ich leider nicht wirklich Ahnung von Residuen habe komme ich bei diese Aufgabe gar nicht zurecht. Kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen Dank


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:46 So 20.05.2007
Autor: wauwau

Es gilt  f = [mm] \bruch{p}{q}Quotient [/mm] zweier Polynome mit  Grad(p)+2 [mm] \le [/mm] Grad(q)
so gilt

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)dx [/mm] = [mm] 2i\pi*\summe_{a \in oberer Halbebene}^{}res_{a}f(z) [/mm]

siehe z.B.: http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz#Gebrochenrationale_Funktionen

deine pole in der oberen halbebene sind

[mm] 2e^{i\bruch{\pi}{4}} [/mm] und [mm] 2e^{i\bruch{3*\pi}{4}} [/mm]

Jetzt brauchst du nur mehr die Residuen an diesen Stellen berechnen und in obige Summe einsetzen und du erhältst das ergebnis

Bezug
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