relative Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Do 31.08.2006 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Die Funktion f sei in einer Umgebung der Stelle x [mm] \varepsilon R^n [/mm] zweimal stetig diffbar, dann gilt:
1. Hat f in x ein relatives Extremum, so verschwinden dort alle ersten partiellen Ableitungen
2. Hat f in x ein relatives Maximum, so verschwinden dort alle ersten partiellen Ableitungen und die zweite partielle Ableitung ist negativ definit.
3. Verschwinden in x alle ersten partiellen Ableitungen und ist die zweite partielle Ableitung positiv definit, dann hat f in x ein relatives Minimum. |
Hallo Leute,
dies war bei uns eine alte MC-Aufgabe einer Klausur, wo es bei einer falschen Antwort Punktabzüge gab. Aber irgendwie hab ich den Eindruck das alle Aussagen richtig sind. Kann mir aber nicht vorstellen das es so ist, weil dann würde man ja keine Abzüge bekommen. Könnte mir also jemand erklären ob eine Aussage falsch ist und warum das so ist. Ich finde echt keinen Fehler in diesen Aussagen
MfG fisch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Fr 01.09.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
richtig ist eigentlich nur 1.
.... denn bei b und c fehlt noch was, bzw. ist nicht ganz korrekt.
zu 1: ein Extremum liegt vor, wenn die ersten partiellen Ableitungen verschwinden oder auch [mm] grad(\phi)=\vec{0}
[/mm]
zu 2 und 3: die Definitheit ist auf die Hesse-Matrix gemünzt und nicht auf die einzelnen Ableitungen. Aus der Matrix ergibt sich z.B. für eine Funktion in x und y die Determinante: [mm] f_{xx}(x,y)*f_{yy}(x,y)-f_{xy}^2(x,y) [/mm] und diese muss [mm] \not=0 [/mm] sein um überhaupt eine Entscheidung treffen zu können ob ein Extremum vorliegt oder nicht.
ist Det>0 ---> dann extistiert ein Extremum
ist Det<0 ---> dann Sattelpunkt
ist Det=0 keine Entscheidung möglich (mit diesem Kriterium)
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") d.h. im Klartext, eine Aussage über Min oder Max gibt die Definitheit der Ableitungen nicht (außerdem bin ich der Meinung, dass eh nur Matrizen definit sein können und nicht Funktionen oder deren Ableitungen!).
Die erhältst du so:
ist nun [mm] f_{xx}(xy)>0 [/mm] folgt daraus ein Minimum
ist nun [mm] f_{xx}(xy)<0 [/mm] folgt daraus ein Maximum
verständlich?
Liebe Grüße
Herby
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