rel. Extremwerte, Wendepunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=\bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{4}x²+4. [/mm] Der Graph der Funktion f wird mit G(f) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie Lage und Art der Extremalpunkte des Graphen G(f) und geben Sie deren Koordinaten an.
b) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen G(f) und geben Sie die Funktionsgleichung der Tangente im Wendepunkt (Wendetangente) an. |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung:
a)
Damit die Extrempunkte gefunden werden, muss die Steigung dort Null sein:
[mm] f(x)=\bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{4}x²+4
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{3}{8}x²-\bruch{3}{2}x
[/mm]
also f'(x)=0 -> [mm] \bruch{3}{8}x²-\bruch{3}{2}x [/mm] = 0
Nun die Lösungsformel verwenden und man bekommt [mm] x_1 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = 4
Nun die Untersuchung ob Hoch- oder Tiefpunkt, dazu benötigt man die zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=\bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] f''(0)=\bruch{3}{4} \cdot{} [/mm] 0 - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] -> Hochpunkt
da die zweite Ableitung das Verhalten der Steigung des Graphen im Punkt x angibt, in diesem Fall negativ, somit fällt die Steigung und es muss ein Hochpunkt gewesen sein, ist jedoch die Steigung positiv, muss es sich um einen Tiefpunkt handeln, denn es steigt ja wieder
[mm] f''(4)=\bruch{3}{4} \cdot{} [/mm] 4 - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] -> Tiefpunkt
Nun die y-Koordinaten:
[mm] f(0)=\bruch{1}{8}0³-\bruch{3}{4}0²+4 [/mm] = 4
[mm] f(4)=\bruch{1}{8}4³-\bruch{3}{4}4²+4 [/mm] = 0
Die Funktion f(x) hat einen Hochpunkt bei (0|4) und einen Tiefpunkt bei (4|0).
b)
Die Bedingung für einen Wendepunkt an einem beliebigen Punkt x ist folgende:
f''(x) = 0 und f'''(x) [mm] \ne [/mm] 0
f''(x)= = -> [mm] \bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2} [/mm] = 0 -> x = 2
[mm] f'''(x)=\bruch{3}{4}
[/mm]
f'''(x) [mm] \ne [/mm] 0 -> [mm] \bruch{3}{4} \ne [/mm] 0 (w)
Somit hat der Graph G(f) der Funktion f(x) bei x=2 einen Wendepunkt, nun die y-Koordinate bestimmen:
f(2) = [mm] \bruch{1}{8}2³-\bruch{3}{4}2²+4 [/mm] = 2, W(2|2)
Nun brauche ich noch die Wendetangente bei W(2|2), die Funktionsgleichung sieht so aus: y=mx+b, die Steigung m bekomme ich über die erste Ableitung:
[mm] f'(2)=\bruch{3}{8}2²-\bruch{3}{2}2 [/mm] = -1,5
x=2, y=2 und m=-1,5, dies nun in y=mx+b einsetzen und b, die Verschiebung auf der y-Achse berechnen:
2 = -1,5 [mm] \cdot{} [/mm] 2 + b -> b = 5
y = -1,5x + 5
Das einzige was mir nicht so klar ist und wo ich im Internet auch nichts dazu gefunden habe ist, welche Ableitung wofür steht:
f(x) -> gibt den Verlauf des Graphen an
f'(x) -> gibt die Steigung des Graphen in einem Punkt x an
Was beschreibt die zweite und dritte Ableitung? Wofür braucht man eine vierte, fünfte usw. Ableitung? Ich hab mal die Funktion f(x) und die einzelnen Ableitungen davon geplottet, vielleicht ist es hilfreich für die Erklärung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> Gegeben ist die Funktion f mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{4}x²+4.[/mm] Der Graph der
> Funktion f wird mit G(f) bezeichnet.
>
> a) Bestimmen Sie Lage und Art der Extremalpunkte des
> Graphen G(f) und geben Sie deren Koordinaten an.
>
> b) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen G(f) und geben
> Sie die Funktionsgleichung der Tangente im Wendepunkt
> (Wendetangente) an.
> Hallo Zusammen,
>
> hier meine Lösung:
>
> a)
>
> Damit die Extrempunkte gefunden werden, muss die Steigung
> dort Null sein:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{8}x³-\bruch{3}{4}x²+4[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{8}x²-\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> also f'(x)=0 -> [mm]\bruch{3}{8}x²-\bruch{3}{2}x[/mm] = 0
>
> Nun die Lösungsformel verwenden und man bekommt [mm]x_1[/mm] = 0 und
> [mm]x_2[/mm] = 4
Hallo,
richtig.
>
>
> Nun die Untersuchung ob Hoch- oder Tiefpunkt, dazu benötigt
> man die zweite Ableitung:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2}[/mm]
Richtig.
>
> [mm]f''(0)=\bruch{3}{4} \cdot{}[/mm] 0 - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] -> Hochpunkt
Richtig.
>
> da die zweite Ableitung das Verhalten der Steigung des
> Graphen im Punkt x angibt, in diesem Fall negativ, somit
> fällt die Steigung und es muss ein Hochpunkt gewesen sein,
> ist jedoch die Steigung positiv, muss es sich um einen
> Tiefpunkt handeln, denn es steigt ja wieder
Das brauchst Du eigentlich nicht zu schreiben, aber es ist gut, wenn Du verstanden hast, warum dieses Kriterium funktioniert.
>
> [mm]f''(4)=\bruch{3}{4} \cdot{}[/mm] 4 - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> -> Tiefpunkt
Ja.
>
> Nun die y-Koordinaten:
>
> [mm]f(0)=\bruch{1}{8}0³-\bruch{3}{4}0²+4[/mm] = 4
>
> [mm]f(4)=\bruch{1}{8}4³-\bruch{3}{4}4²+4[/mm] = 0
>
> Die Funktion f(x) hat einen Hochpunkt bei (0|4) und einen
> Tiefpunkt bei (4|0).
Richtig.
>
>
> b)
>
> Die Bedingung für einen Wendepunkt an einem beliebigen
> Punkt x ist folgende:
>
> f''(x) = 0 und f'''(x) [mm]\ne[/mm] 0
Ja.
>
> f''(x)= = -> [mm]\bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2}[/mm] = 0 -> x = 2
Richtig.
>
>
> [mm]f'''(x)=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> f'''(x) [mm]\ne[/mm] 0
Es ist
> [mm]\bruch{3}{4} \ne[/mm] 0 (w)
>
> Somit hat der Graph G(f) der Funktion f(x) bei x=2 einen
> Wendepunkt,
Ja.
> nun die y-Koordinate bestimmen:
>
> f(2) = [mm]\bruch{1}{8}2³-\bruch{3}{4}2²+4[/mm] = 2, W(2|2)
Ja.
>
> Nun brauche ich noch die Wendetangente bei W(2|2), die
> Funktionsgleichung sieht so aus: y=mx+b, die Steigung m
> bekomme ich über die erste Ableitung:
>
> [mm]f'(2)=\bruch{3}{8}2²-\bruch{3}{2}2[/mm] = -1,5
Ja.
>
> x=2, y=2 und m=-1,5, dies nun in y=mx+b einsetzen und b,
> die Verschiebung auf der y-Achse berechnen:
>
> 2 = -1,5 [mm]\cdot{}[/mm] 2 + b -> b = 5
>
> y = -1,5x + 5
Genau.
>
>
>
> Das einzige was mir nicht so klar ist und wo ich im
> Internet auch nichts dazu gefunden habe ist, welche
> Ableitung wofür steht:
>
> f(x) -> gibt den Verlauf des Graphen an
>
> f'(x) -> gibt die Steigung des Graphen in einem Punkt x an
Die zweite Ableitung liefert Informationen über die Krümmumg des Graphen.
f''(x)>0 linksgekrümmt,
f''(x)<0 rechtsgekrümmt.
Die dritte Ableitung liefert wohl Informationen darüber, wie stark sich die Krümmung ändert,
und über die darauffolgenden Ableitungen brauchst Du wirklich überhaupt nicht mehr nachzudenken,
den direkten Bezug zur Ausgangsfunktion sieht man da gar nicht mehr.
Ich finde, daß Du diese Aufgabe ganz toll gelöst.
Es ist Dir gelungen, nicht nur richtig zu rechnen, sondern das, was Du gerechnet hast, völlig verständlich und nachvollziehbar aufzuschreiben.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Die zweite Ableitung liefert Informationen über die
> Krümmumg des Graphen.
>
> f''(x)>0 linksgekrümmt,
> f''(x)<0 rechtsgekrümmt.
Wenn ich dieses Kriterium auf b) anwende, dort ist $f''(x) = 2$, also nach der obigem Kriterium linksgekrümmt, wenn ich mir aber den Graph ansehe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liegt doch eine Rechtskrümmung vor, oder? Ich hab mal bei Wikipedia nachgeschaut und dort folgende Definition gefunden:
Die Funktion f sei in einer Umgebung von xW dreimal differenzierbar. Falls gilt [mm] f\,''(x_W)=0 \wedge f'''(x_W) \neq [/mm] 0, so ist xW Wendestelle. Wenn [mm] \,f''' [/mm] > 0, dann ist xW Rechts-Links-Wendestelle und wenn [mm] \,f''' [/mm] < 0, dann ist xW Links-Rechts-Wendestelle.
Falls die zweite Ableitungsfunktion [mm] \,f [/mm] ''(x) an der Stelle xW das Vorzeichen wechselt, so ist xW eine Wendestelle. Wenn [mm] \,f ''(x_W) [/mm] vom Negativen in das Positive wechselt, so ist xW Rechts-Links-Wendestelle, und wenn [mm] \,f ''(x_W) [/mm] an xW vom Positiven in das Negative wechselt, so ist xW eine Links-Rechts-Wendestelle.
Wenn ich dies herausnehme: "Wenn [mm] \,f''' [/mm] > 0, dann ist xW Rechts-Links-Wendestelle und wenn [mm] \,f''' [/mm] < 0, dann ist xW Links-Rechts-Wendestelle.".
So würde es ja passen, vorausgesetzt ich hab mich nicht vertan, und es liegt eine Rechts-Links-Wendestelle vor, denn in diesem Fall ist $f'''(x) = [mm] \bruch{3}{4}$, [/mm] also größer Null.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo itse!
Angela hat schon recht. die Bedingungen die sie dir aufgestellt hat sind vollkommen richtig. Deine Rechnung bei der du f´´(x)=2 herausbekommst bezieht sich ja nicht auf die krümmung. Man macht das anders. Also deine 2. Ableitung lautet doch f´´(x)= [mm] \bruch{3}{2}x+\bruch{3}{4}
[/mm]
So jetzt untersuche ich das Krümmungsverhalten:
Sei also f´´(x)>0
[mm] \bruch{3}{2}x+\bruch{3}{4}>0
[/mm]
Nach umstellen folgt: [mm] x>-\bruch{1}{2}
[/mm]
Also für x > [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist der Graph rechtsgekrümmt. Für die linkskrümmung machst du das analog. Hast du es verstanden?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
also hab ich bei der Rechnung, wo f''(x)=2 rauskommt, nicht die Krümmung berechnet, sondern wo die Krümmung Null ist, oder?
Die zweite Ableitung lautet aber doch: [mm] f''(x)=\bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2}, [/mm] oder nicht?
f''(x)>0
[mm] \bruch{3}{4}x-\bruch{3}{2} [/mm] > 0, nach x umstellen x > 2, somit wäre es linksgekrümmt, aber das stimmt ja nicht.
Ich muss doch hier auch einen x-Wert einsetzen, zum Beispiel den Hoch- und Tiefpunkt, beim Hochpunkt muss man davon ausgehen, dass die zweite Ableitung kleiner Null ist, die zweite Ableitung beschreibt ja die Steigung der Steigung, also
f''(x) < 0
f''(0) < 0
[mm] \bruch{3}{4} \cdot{} [/mm] 0 [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] < 0; [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] < 0 (w), also x < 0 somit rechtsgekrümmt und nun für den Tiefpunkt:
f''(4) > 0
[mm] \bruch{3}{4} \cdot{} [/mm] 4 [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] > 0; 1,5 > 0 (w), also x > 0 somit linksgekrümmt
Somit würde es passen, kann man dies so rechnen? Ich hab auch dazu noch eine Definition gefunden:
Die Funktion f heißt linksgekrümmt, wenn die Steigung der Tangente zunimmt.
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt, wenn die Steigung der Tangente abnimmt.
Dadurch kann man sagen, dass die Funktion bei einem Hochpunkt rechtsgekrümmt ist und bei einem Tiefpunkt linksgekrümmt.
Bei dem Wendepunkt müsste es gleich Null sein, x=2
f''(2) > 0
[mm] \bruch{3}{4} \cdot{} [/mm] 2 [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] > 0; 0 > 0 (w), also x = 0 somit weder rechts- oder linksgekrümmt. Dies würde ja auch passen, weil dort der Übergang (Wendepunkt) ist. Nur mit dem größer und kleiner Zeichen komm ich nicht so zu Recht. Kann man dies so schreiben, vorausgesetzt es stimmt überhaupt? Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> PS Deine Zeichnung die du angefertigt hast ist nicht
> richtig. Die wo du Links-und rechtskrümmung eingezeichnet
> hast. Es ist genau anders herum. Du gehts IMMER vom
> wendepunk aus.
Okay, das hatte ich nicht gewusst, somit ist es genau andersrum. Danke.
> Noch eine Frage. Hast du schon mal das Monotonieverhalten
> untersucht bei einer fkt. Das ist genau das gleiche nur
> machst du das mit deiner 1. Ableitung. Also SMW für f´(x)>0
> und SMF für f´(x)<0
Dies habe ich bis zum Abwinken gemacht, ist nur schon ne Weile her. Nun hab ich es kapiert, man gibt die Bereiche, genauso wie bei der Monotie, wo fallend oder steigend, genauso rechts- oder linksgekrümmt an. Somit ist die Funktion bei x>2 rechtsgekrümmt und bei x<2 linksgekrümmt. Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Do 03.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Angela schrieb:
> (Ich stelle mir immer vor, daß ich v. links kommend die Kurve mit dem Fahhrad entlangfahre, dann krieg' ich das trotz stasrk
> ausgeprägter Rechts/Linksschwäche geregelt.)
Respekt!
Und das vermutlich mit einer Rotte Meerschweinchen im Fahrradkoerbchen! 
vg Luis
|
|
|
| |
|
> PS Deine Zeichnung die du angefertigt hast ist nicht
> richtig. Die wo du Links-und rechtskrümmung eingezeichnet
> hast.
Hallo,
so, wie itses Zeichung jetzt ist, hat sie Rechts- und Linkskrümmung völlig richtig eigetragen:
links v. Wendepunkt rechtsgekrümmt
rechts v. Wendepunkt linksgekrümmt.
(Ich stelle mir immer vor, daß ich v. links kommend die Kurve mit dem Fahrrad entlangfahre, dann krieg' ich das trotz stark ausgeprägter Rechts/Linksschwäche geregelt.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:30 Do 03.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Angela
Ja jetzt ist die Zeichnung richtig. Sie war aber vorher doch anders deshalb gab es widersprüche seitens itse weil sie gerechnet hat und nicht das herausgekommen ist was herauskommen sollte. Sprich die Zeichnung und ihre Rechnung standen im Widerspruch
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:35 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> 1. Rechtskrümmung: f´´(x)>0
Die Bedingung für Rechtskrümmung ist f''(x)<0
Die Funktion f heißt rechtsgekrümmt, wenn die Steigung der Tangente abnimmt.
> Also 2x-2>0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1>0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x>1
> Nun ist die Funktion für x<1 RECHTSGEKRÜMMT
> 2. Linkskrümmung: f´´(x)<0
f''(x)>0 linksgekrümmt
Die Funktion f heißt linksgekrümmt, wenn die Steigung der Tangente zunimmt.
> Also 2x-2<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1<0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x<1
> Hier ist die Funktion für x>1 LINKSGEKRÜMMT
Somit geht es vom Negativen ins Positive -> Rechts-Links-Wendestelle, würde es vom Positiven ins Negative gehen wäre es eine Links-Rechts-Wendestelle
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 19:33 Do 03.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Itse!
Hier muss ich auch zugeben dass ich totalen "Müll" geredet habe. Natürlich du hast recht. linkskrümmung f´´(x)>0 und rechtskrümmung f´´(x)<0. Dann hat sich die sache mit der zeichnung geklärt und du hattest berechtigterweise einsprüche. Mein Fehler. Entschuldige wenn ich dich durcheinander gebracht habe.
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > Die zweite Ableitung liefert Informationen über die
> > Krümmumg des Graphen.
> >
> > f''(x)>0 linksgekrümmt,
> > f''(x)<0 rechtsgekrümmt.
>
> Wenn ich dieses Kriterium auf b) anwende,
Hallo,
ich bin's nochmal.
In Aufgabe b) bestimmst Du die Wendepunkte.
Hierzu ermittelst Du die Stellen, an denen der Graph weder rechts- noch linksgekrümmt ist, also die Stellen mit f''(x)=0.
Du hattest festgestellt: für x=2 trifft das zu, es ist f''(2)=0.
Nun schaust Du die dritte Ableitung an der Stelle x=2 an: [mm] f'''(2)=\bruch{3}{4}.
[/mm]
Das bedeutet, daß der Graph v. f'' an der Stelle 2 steigt.
Also sind seine Funktionswerte links v. 2 negativ, rechts der 2 positiv,
also ist die Funktion links der 2 rechtsgekrümmt, rechts der 2 linksgekrümmt,
Du hast also einen Rechtslinks-Wendpunkt, was Du ja schon längst selbst herausgefunden hast.
> Wenn ich dies herausnehme: "Wenn [mm]\,f'''[/mm] > 0, dann ist xW
> Rechts-Links-Wendestelle und wenn [mm]\,f'''[/mm] < 0, dann ist xW
> Links-Rechts-Wendestelle.".
>
> So würde es ja passen, vorausgesetzt ich hab mich nicht
> vertan, und es liegt eine Rechts-Links-Wendestelle vor,
> denn in diesem Fall ist [mm]f'''(x) = \bruch{3}{4}[/mm], also größer
> Null.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 04.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> so, wie itses Zeichung jetzt ist, hat sie Rechts- und Linkskrümmung völlig richtig eigetragen:
> Ja jetzt ist die Zeichnung richtig. Sie war aber vorher doch anders deshalb gab es widersprüche seitens itse weil sie
> gerechnet hat und nicht das herausgekommen ist was herauskommen sollte. Sprich die Zeichnung und ihre Rechnung standen im > Widerspruch
PS: was mir gerade aufgefallen ist, ich bin männlich und nicht weiblich.
|
|
|
| |
|
> PS: was mir gerade aufgefallen ist, ich bin männlich und
> nicht weiblich.
Klasse!
Habe ich Dir zu dieser Erkenntnis verholfen???
Ich hatte beim Schreiben noch überlegt: woher weiß ich eigentlich, daß es ein Mädel ist?
Wahrscheinlich war ich mit wegen itse [mm] \approx [/mm] ilse so sicher...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich habe mir einen Graph ausgedacht, der eine Links-Rechts-Krümmung hat und will dies nun mathematisch beweisen:
[mm] f(x)=-x³-\bruch{19}{8}x²+3
[/mm]
[mm] f'(x)=-3x²-\bruch{19}{4}x
[/mm]
[mm] f''(x)=-6x-\bruch{19}{4}
[/mm]
$f'''(x)=-6$
Ich will den Wendepunkt bestimmen, also $f''(x)=0$ und $f'''(x) [mm] \ne [/mm] 0$
$f''(x)=0$ -> [mm] -6x-\bruch{19}{4} [/mm] = 0 -> x = [mm] -\bruch{19}{24}
[/mm]
nun noch die zweite Bedinung $f'''(x) [mm] \ne [/mm] 0$ ist auch erfüllt denn -6 [mm] \ne [/mm] 0
Jetzt noch den y-Wert:
[mm] f(-\bruch{19}{24}) [/mm] = [mm] -(-\bruch{19}{24})³-\bruch{19}{8}(-\bruch{19}{24})²+3 [/mm] = 2
Also eine Wendepunkt bei W(-0,8|2)
Nun Überprüfung ob eine Rechts-Linkskrümmung oder eine Links-Rechtskrümmung vorliegt:
1. Linkskrümmung: $f''(x) > 0$
[mm] -6x-\bruch{19}{4} [/mm] > 0
x > -0,8
2. Rechtskrümmung: $f''(x) < 0$
[mm] -6x-\bruch{19}{4} [/mm] < 0
x < -0,8
Also ist der Graph von [mm] -\infty [/mm] < x < -0,8 rechtsgekrümmt und von -0,8 > x > [mm] +\infty [/mm] linksgekrümmt. Wenn ich mir f'''(-0,8)= -6 anschaue, ist die Steigung an der Stelle x=-0,8 negativ. Somit ist es von links der -0,8 positiv und rechts der -0,8 negativ. Und nun die Definition bei Wikipedia an:
Wenn [mm] \,f ''(x_W) [/mm] vom Negativen in das Positive wechselt, so ist xW Rechts-Links-Wendestelle
Wenn [mm] \,f ''(x_W) [/mm] an xW vom Positiven in das Negative wechselt, so ist xW eine Links-Rechts-Wendestelle
Also muss es eine Links-Rechts-Wendestelle sein, oder? Am einfachsten wäre es doch dann, man sucht sich den Wendepunkt xy, wo keine Krümmung vorliegt, also f''(x) = 0 und f'''(x) [mm] \ne [/mm] 0 ist. Und bestimmt noch die y-Koordinate. Dann sucht man ob eine Links- oder Rechtskrümmung vorliegt, also wendet man ein weiteres Kriterium an:
$f''(x)>0$ linksgekrümmt
$f''(x)<0$ rechtsgekrümmt
Und kann somit schon mal sagen, dass die Funktion bei a > 0 linksgekrümmt und bei a < 0 rechtsgekrümmt ist. Nun will man noch herausfinden, ob es sich um eine Rechts-Links -oder Links-Rechts-Wendestelle handelt, also ein weiteres Kriterium (hab ich mir selbst so gedacht):
$f'''(x) > 0$ Rechts-Links-Wendestelle
$f'''(x) < 0$ Links-Rechts-Wendestelle
wenn positiv -> links negativ und rechts positiv -> Rechts-Links-Wendestelle
wenn negativ -> links positiv und rechts negativ -> Links-Rechts-Wendestelle
Wäre diese Vorgehensweise in Ordnung? Vielen Dank im Voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Do 03.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Itse,
> ich habe mir einen Graph ausgedacht, der eine
> Links-Rechts-Krümmung hat und will dies nun mathematisch
> beweisen:
>
> [mm]f(x)=-x³-\bruch{19}{8}x²+3[/mm]
>
> [mm]f'(x)=-3x²-\bruch{19}{4}x[/mm]
>
> [mm]f''(x)=-6x-\bruch{19}{4}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=-6[/mm]
>
>
> Ich will den Wendepunkt bestimmen, also [mm]f''(x)=0[/mm] und
> [mm]f'''(x) \ne 0[/mm]
>
> [mm]f''(x)=0[/mm] -> [mm]-6x-\bruch{19}{4}[/mm] = 0 -> x = [mm]-\bruch{19}{24}[/mm]
>
> nun noch die zweite Bedinung [mm]f'''(x) \ne 0[/mm] ist auch erfüllt
> denn -6 [mm]\ne[/mm] 0
>
> Jetzt noch den y-Wert:
>
> [mm]f(-\bruch{19}{24})[/mm] =
> [mm]-(-\bruch{19}{24})³-\bruch{19}{8}(-\bruch{19}{24})²+3[/mm] = 2
Die Vorgehensweise ist im Prinzip OK. Werte hab ich nicht nachgerechnet.
> Also eine Wendepunkt bei W(-0,8|2)
ne, also präzise mußt du schon sein: Der WP liegt bei 19/24 und das ist nicht 0,8.
> Nun Überprüfung ob eine Rechts-Linkskrümmung oder eine
> Links-Rechtskrümmung vorliegt:
>
> 1. Linkskrümmung: [mm]f''(x) > 0[/mm]
>
> [mm]-6x-\bruch{19}{4}[/mm] > 0
>
> x > -0,8
leider nicht.
Dividiert man (oder multipliziert) eine Ungleichung durch eine negative Zahl, muß das Ungleichzeichen umgedreht werden!
> 2. Rechtskrümmung: [mm]f''(x) < 0[/mm]
>
> [mm]-6x-\bruch{19}{4}[/mm] < 0
>
> x < -0,8
siehe oben.
> Also ist der Graph von [mm]-\infty[/mm] < x < -0,8 rechtsgekrümmt
> und von -0,8 > x > [mm]+\infty[/mm] linksgekrümmt. Wenn ich mir
> f'''(-0,8)= -6 anschaue, ist die Steigung an der Stelle
> x=-0,8 negativ. Somit ist es von links der -0,8 positiv und
> rechts der -0,8 negativ. Und nun die Definition bei
> Wikipedia an:
>
> Wenn [mm]\,f ''(x_W)[/mm] vom Negativen in das Positive wechselt, so
> ist xW Rechts-Links-Wendestelle
> Wenn [mm]\,f ''(x_W)[/mm] an xW vom Positiven in das Negative
> wechselt, so ist xW eine Links-Rechts-Wendestelle
Aus deiner Rechnung würde jedenfalls eine R-L-WS folgen.
> Also muss es eine Links-Rechts-Wendestelle sein, oder? Am
> einfachsten wäre es doch dann, man sucht sich den
> Wendepunkt xy, wo keine Krümmung vorliegt, also f''(x) = 0
> und f'''(x) [mm]\ne[/mm] 0 ist. Und bestimmt noch die y-Koordinate.
> Dann sucht man ob eine Links- oder Rechtskrümmung vorliegt,
> also wendet man ein weiteres Kriterium an:
>
> [mm]f''(x)>0[/mm] linksgekrümmt
> [mm]f''(x)<0[/mm] rechtsgekrümmt
das ist wahr.
> Und kann somit schon mal sagen, dass die Funktion bei a > 0
> linksgekrümmt und bei a < 0 rechtsgekrümmt ist. Nun will
> man noch herausfinden, ob es sich um eine Rechts-Links
> -oder Links-Rechts-Wendestelle handelt, also ein weiteres
> Kriterium (hab ich mir selbst so gedacht):
>
> [mm]f'''(x) > 0[/mm] Links-Rechts-Wendestelle
> [mm]f'''(x) < 0[/mm] Rechts-Links-Wendestelle
es ist leider genau umgekehrt überleg noch einmal.
> wenn positiv -> links negativ und rechts positiv ->
> Rechts-Links-Wendestelle
das ist wiederum wahr, widerspricht aber deinen Ausführungen oben.
> wenn negativ -> links positiv und rechts negativ ->
> Links-Rechts-Wendestelle
ebenso wahr.
> Wäre diese Vorgehensweise in Ordnung? Vielen Dank im
> Voraus.
Bitte, bitte.. und ein schönes neues Jahr!
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Nun Überprüfung ob eine Rechts-Linkskrümmung oder eine
> > Links-Rechtskrümmung vorliegt:
> >
> > 1. Linkskrümmung: [mm]f''(x) > 0[/mm]
> >
> > [mm]-6x-\bruch{19}{4}[/mm] > 0
> >
> > x > -0,8
>
> leider nicht.
> Dividiert man (oder multipliziert) eine Ungleichung durch
> eine negative Zahl, muß das Ungleichzeichen umgedreht
> werden!
also x < -0,8
> > 2. Rechtskrümmung: [mm]f''(x) < 0[/mm]
> >
> > [mm]-6x-\bruch{19}{4}[/mm] < 0
> >
> > x < -0,8
also x > -0,8
Also ist der Graph von [mm]-\infty[/mm] < x < -0,8 linksgekrümmt und von -0,8 > x > [mm]+\infty[/mm] rechtsgekrümmt. Wenn ich mir f'''(-0,8)= -6 anschaue, ist die Steigung an der Stelle x=-0,8 negativ.
Somit ist es doch von links der -0,8 positiv und rechts der -0,8 negativ.
> Aus deiner Rechnung würde jedenfalls eine R-L-WS folgen.
Also ist der Graph bis x < -0,8 linksgekrümmt und von x > -0,8 rechtsgekrümmt. Wenn ich mir aber den Graph plotte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist es doch eine L-R-WS, oder? Und wenn ja wo liegt der Fehler? Wenn es vom positiven ins negative geht, wäre es eine Links-Rechts-Wendestelle
> > Und kann somit schon mal sagen, dass die Funktion bei a > 0
> > linksgekrümmt und bei a < 0 rechtsgekrümmt ist. Nun will
> > man noch herausfinden, ob es sich um eine Rechts-Links
> > -oder Links-Rechts-Wendestelle handelt, also ein weiteres
> > Kriterium (hab ich mir selbst so gedacht):
> >
> > [mm]f'''(x) > 0[/mm] Links-Rechts-Wendestelle
> > [mm]f'''(x) < 0[/mm] Rechts-Links-Wendestelle
>
> es ist leider genau umgekehrt überleg noch einmal.
Da ware ich wohl grade etwas verwirrt, habe es in meinem Post entsprechend angepasst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Nun Überprüfung ob eine Rechts-Linkskrümmung oder eine
> > > Links-Rechtskrümmung vorliegt:
> > >
> > > 1. Linkskrümmung: [mm]f''(x) > 0[/mm]
> also x < -0,8
Ja.
Du weißt jetzt: links v. -0.8 ist der Graph linksgekrümmt.
> > > 2. Rechtskrümmung: [mm]f''(x) < 0[/mm]
> also x > -0,8
und rechts v. -0.8 ist er rechtsgekrümmt.
>
>
> Also ist der Graph von [mm]-\infty[/mm] < x < -0,8 linksgekrümmt und
> von -0,8 > x > [mm]+\infty[/mm] rechtsgekrümmt.
Genau.
Wenn ich mir
> f'''(-0,8)= -6 anschaue, ist die Steigung v. f'' an der Stelle
> x=-0,8 negativ.
>
> Somit ist es doch von links der -0,8 positiv und rechts der
> -0,8 negativ.
Ja.
>
> Also ist der Graph bis für x < -0,8 linksgekrümmt und von x >
> -0,8 rechtsgekrümmt.
Ja.
> Wenn ich mir aber den Graph plotte:
paßt alles, was Du schreibst, ganz supergut zum Plot.
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Ist es doch eine L-R-WS, oder?
Ja.
> Und wenn ja wo liegt der
> Fehler?
Es gibt keinen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 03.01.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
also war die Aussage von Köpper:
> Aus deiner Rechnung würde jedenfalls eine R-L-WS folgen.
falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Do 03.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Hallo Zusammen,
>
> also war die Aussage von Köpper:
>
> > Aus deiner Rechnung würde jedenfalls eine R-L-WS folgen.
>
> falsch?
Nein, Deine Rechnung war ja falsch. =)
Du hattest genau die beiden Bereiche, wo f links- und wo es rechtsgekrümmt ist, vertauscht. Aber in Deiner Schlußfolgerung bist Du auf das richtige Ergebnis (es ist eine Links-Rechts-Wendestelle) gekommen. Er hat nur darauf hingewiesen, daß Du ausgehend von dem, was Du gerechnet hast, als Folgefehler auf ein anderes Ergebnis (es ist eine R-L-WS) hättest kommen müssen.
Jetzt kommst Du vom richtigen Zwischenergebnis auf die richtige Lösung, also paßt's.
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
