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Wir haben als Aufgabe, zu zeigen ob die rekursive Folge (aj) j [mm] \in \IN [/mm] konvergiert und wenn ja, sollen wir den grenzwert bestimmen.
die Folge lauet: a1 =2 aj+1: [mm] \bruch{aj}{2}+\bruch{1}{aj}
[/mm]
wie zeige ich denn bei einer solchen Folge , dass sie konvergiert?
mit [mm] \varepsilon?? [/mm] also der bedingng: aj-a < [mm] \varepsilon
[/mm]
komme da irgendwie nicht weiter.....
wäre über eine antwort sehr dankbar...Ein Tip wüde es auch schon tun...;)
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Hallo pusteblume86,
> Wir haben als Aufgabe, zu zeigen ob die rekursive Folge
> (aj) j [mm]\in \IN[/mm] konvergiert und wenn ja, sollen wir den
> grenzwert bestimmen.
>
> die Folge lauet: a1 =2 aj+1:
> [mm]\bruch{aj}{2}+\bruch{1}{aj}[/mm]
>
> wie zeige ich denn bei einer solchen Folge , dass sie
> konvergiert?
in der Regel zeigt man, daß eine Folge konvergiert, über die Differenz zweier Folgenglieder. Diese muß gegen 0 streben, sonst ist die Folge divergent.
Gruß
MathePower
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Aber wie mach ich das denn dann bei einer so rekursv definierten Folge...fürgroße j muss also der abstand zwischen aj und aj+1 kleiner epsilon sein?!?!?
Kann mir jemadn ein wenig mehr weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Di 15.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Löwenzahn
1. [mm] a_{j+1}-a_{j}=\bruch{1}{a_{j}}-\bruch{a_{j}}{2}
[/mm]
ich glaub, s ist nicht so einfach zu zeigen, dass das ab einem N kleiner Eps. ist.
Ich hoffe, dass ihr den satz hattet, dass eine monotonwachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert. entspr. mon.fallend.
Beschränkt nach oben und unten ist leicht zu zeigen,(zw. 1 und 2) ob sie steigt oder fällt stellst du mit den ersten paar fest und beweisest es dann mit
[mm] a_{j+1}-a_{j}>0 [/mm] oder <0.
den Grenzwert findet man, falls er existiert mit [mm] a_{j+1}=a_{j}=a
[/mm]
Gruss leduart
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Wie genau zeige ich denn jetzt hier, das sie beschränkt ist und wenn das gezeigtwurde, wodurch(1 und 2 ) sie beschränkt ist.???
Für aj+1-aj habe ich jetzt einfach : $ [mm] a_{j+1}-a_{j}=\bruch{1}{a_{j}}-\bruch{a_{j}}{2} [/mm] $
Da wir wissen(bzw. ich bisher halt nur durch ausprobieren; deswegen die Frage weiter oben, wie ich es beweisen kann, liegen die Folgenglieder zwischen 1 und2. Damit habe ich jetzt herausgefunden, dass die Folge monoton wächst. (wobei je mehr ich darüber nachenke, ....wenn ich 2 einsetze ist es kleiner 0..mhm?!?!
Dann wäre alles in allem gezeigt, dass die Folge beschränkt monoton ist. Wie bestimme ich denn jetzt den Grenzwert?a j+1=aj=a??Wie kommst du denn auf sowas?...wie mache ich das dann? Vlt. aj+1=aj [mm] \Rightarrow [/mm] aj+1-aj=0, [mm] \Rightarrow \bruch{1}{a_{j}}-\bruch{a_{j}}{2}= [/mm] 0
achne geht nicht!wir haben ja gerade gezeigt, dass genau das größer null ist. Kann mir jemand weiterhelfen?
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Hallo
Die Beschränktheit beweist man durch Vollständige Induktion
einmal für [mm] a_{n}<2 [/mm] und [mm] a_{n+1}<2
[/mm]
und einmal für
[mm] a_{n}>1 [/mm] und [mm] a_{n+1}>1
[/mm]
lg Stevo
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Also , danke erstmal für die Tips....
Induktionsannahme: [mm] a_j/2 [/mm] + [mm] 1/a_j [/mm] = [mm] a_{j+1}<2
[/mm]
Induktionsanfang mit j = 1 ergibt 2 für j=2 ergibt sich 3/2 ist also gezeigt.
Induktionsschritt ist doch dann [mm] a_{j+2}= \bruch{a_{j+1}}{2}+\bruch{1}{a_{j+1}} [/mm] = [mm] \bruch {\bruch{a_j}{2}+\bruch{1}{a_j}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\bruch{a_j}{2}+\bruch{1}{a_j}}
[/mm]
und dann kann man die induktionsvoraussetzung benutzen glaub ich...oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
Prinzipiell reicht es ja aus, mit [mm] $a_{j+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_j}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_j}$ [/mm] zu arbeiten und die Verankerung nur für $j \ = \ 1$ zu zeigen.
Dabei musst Du aber etwas aufpassen: es gilt nämlich "nur": [mm] $a_j [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 2$ (siehe [mm] $a_1$ [/mm] !).
Und Du hast auch Recht: nun musst Du die Induktionsvoraussetzung [mm] $a_j [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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