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| Aufgabe 1 | die folgenden rekursionsformeln definieren jeweils eine folge. beweisen sie mit vollständiger induktion!
a)geg: [mm] $a_0=0$, $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$
[/mm]
$ [mm] a_n=1/\wurzel{5}*(((1+\wurzel{5})/2)^ n-((1-\wurzel{5})/2)^ [/mm] n)$
b)geg: [mm] $b_1=0$, $b_2=1$, $b_n=0,5*(b_{n-1}+b_{n-2})$
[/mm]
[mm] $b_{n+1}=b_n+(-1)^{n-1}/2^{n-1}$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | bestimmen sie für q IR den grenzwert der rekursiv definierten folge!
[mm] $c_n=p*c_n+q$, $c_1=1$, [/mm] $|p| <1$ |
hallo,
also ich hätt da ma ne frage zu. ich hab die a schon probiert:
IA) z.z, dass die aussage für alle n=0 gilt: laut aufgabenstellung ist a0=0, also eine wahre aussage
IV) angenommen dei aussage gilt für ein beliebiges aber festesn, dh.:
an=1/wurzel{5}*(((1+wurzel{5})/2)hoch n - ((1-wurzel{5})/2)hoch n)
IS) z.z, die aussage für n+1 unter verwendung der IV, d.h:
a(n+1)=an+a(n-1)
beweis:
??????????????????
also beim beweis komm ich nicht weiter.
und bei aufgabe b hab ich schon probleme gleich am anfang. das ist so komisch formuliert...
hat jemand eine idee???
muss ich bei der 2. aufgabe erst die folge aufstellen oder ie bekomm ich den grenzwert raus?
danke
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Hallo charly1607,
> die folgenden rekursionsformeln definieren jeweils eine
> folge. beweisen sie mit vollständiger induktion!
> a)geg: [mm]a_0 = 0, a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/mm]
> [mm]a_n = 1 \wedge wurzel{5}*(((1+\wurzel{5})/2)^ n-((1-\wurzel{5})/2)^ n)[/mm]
Das ist die Definition der Fibonacci-Folge. Die Formel, die Du zeigen mußt, ist die Formel von Binet. Unter Google sollte sich damit und dem Suchwort "Induktion" etwas finden lassen.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 15.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo charly
beweisen sie mit vollständiger induktion!
> a)geg: [mm]a_0=0[/mm], [mm]a_1=1[/mm], [mm]a_{n+1}=a_n+a_{n-1}[/mm]
> [mm]a_n=1/\wurzel{5}*(((1+\wurzel{5})/2)^ n-((1-\wurzel{5})/2)^ n)[/mm]
>
> b)geg: [mm]b_1=0[/mm], [mm]b_2=1[/mm], [mm]b_n=0,5*(b_{n-1}+b_{n-2})[/mm]
> [mm]b_{n+1}=b_n+(-1)^{n-1}/2^{n-1}[/mm]
> bestimmen sie für q IR den grenzwert der rekursiv
> definierten folge!
> [mm]c_n=p*c_n+q[/mm], [mm]c_1=1[/mm], [mm]|p| <1[/mm]
>
> hallo,
> also ich hätt da ma ne frage zu. ich hab die a schon
> probiert:
> IA) z.z, dass die aussage für alle n=0 gilt: laut
> aufgabenstellung ist a0=0, also eine wahre aussage
bie einer rekursiven Folge, wo du ja später n und n-1 bnutzt musst du auch am Anfang 2 Glieder untersuchen, also richtig für a0 und a1!
Was meinst du mit "für alle n=0" da gibts doch nur eins?
> IV) angenommen dei aussage gilt für ein beliebiges aber
> festesn, dh.:
> an=1/wurzel{5}*(((1+wurzel{5})/2)hoch n -
> ((1-wurzel{5})/2)hoch n)
und für [mm] a_{n-1}
[/mm]
> IS) z.z, die aussage für n+1 unter verwendung der IV, d.h:
> a(n+1)=an+a(n-1)
> beweis:
Einfach die Formeln für [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n-1} [/mm] einsetzen und ausrechnen, dass es stimmt! dabei [mm] (1+wurzel{5})/2)^{n-1} [/mm] und [mm] (1-wurzel{5})/2)^{n-1}) [/mm] ausklammern und nachrechnen was [mm] (1+wurzel{5})/2)^{2} [/mm] gibt.
aber ohne dass man losrechnet kann ja nix rauskommen!
> und bei aufgabe b hab ich schon probleme gleich am anfang.
> das ist so komisch formuliert...
was daaran ist komisch? wenn man sowas nicht versteht, macht man sich ein Beispiel etwa p=1/2, q=3 und guckt die ersten 3 bis 4 cn an!
Für den Grenzwert c muss doch gelten :c=p*c+q, allerdings nur, wenn die Reihe konvergiert. Das musst du beweisen. aber p>1 und das Ergebnis für c geben auf den Beweis einen guten Hinweis!
> hat jemand eine idee???
> muss ich bei der 2. aufgabe erst die folge aufstellen oder
> ie bekomm ich den grenzwert raus?
Die folge aufstellen? die ist doch gegeben! meinst du ne explizite Darstellung? die hilft dir sicher beim Bewes der Konvergenz.
Gruss leduart
> danke
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