rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 Mo 25.02.2013 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | | Es sei [mm] a_{n}=\bruch{3}{4-a_{n-1}} [/mm] eine rekursiv definierte Folge mit [mm] a_{0}=2. [/mm] Zeige ihre Beschränktheit. |
Hallo,
ich weiß, dass die Lösung ist: [mm] 1
Aber ich weiß nicht wie ich sofort auf die 1 und die 3 kommen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei solchen Folgen Beschränktheit relativ schnell rausfinden kann?
Danke und viele Grüße,
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Probier es mal per Induktion.
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Hallo petapahn,
wenn Du die 1 und die 3 erstmal hast, ist der Rest in der Tat leicht per Induktion zu zeigen.
Aber Deine Frage war ja:
> Aber ich weiß nicht wie ich sofort auf die 1 und die 3
> kommen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei
> solchen Folgen Beschränktheit relativ schnell rausfinden
> kann?
Meistens (will heißen: fast immer) ist es interessant, erstmal nachzusehen, ob es "stabile Startwerte" gibt, also solche, bei denen [mm] a_1=a_0=a_n \forall n\in\IN [/mm] ist.
Dazu setzt Du einfach [mm] a_n=a_{n-1}=a, [/mm] entsprechend bei mehrstufigen Rekursionen.
Hier also:
[mm] a=\bruch{3}{4-a}
[/mm]
Die Lösungen dieser (quadratischen) Gleichungen sind a=1 und a=3. Das sind zugleich die beiden möglichen Grenzwerte. Welcher nun "richtig" ist, zeigt dann die weitere Untersuchung, eben z.B. per Induktion.
Bei Deiner Folge stellst Du übrigens fest, dass für Startwerte [mm] 1
Grüße
reverend
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