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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Di 23.11.2004 | | Autor: | Gero |
Hi @ all,
ich brauch mal wieder eure Hilfe bei folgender Aufgabe:
"Es sei 0 < [mm] a_{0} \le b_{0} [/mm] und rekursiv
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \wurzel[2]{a_{n}b_{n}}, b_{n+1}:= \bruch{a_{n}+b_{n}}{2} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Zeigen Sie [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] und [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergieren monoton nichtfallend bzw. nichtwachsend gegen den gleichen Grenzwert , das sogenannten arithmetisch-geometrische Mittel von [mm] a_{o} [/mm] und [mm] b_{0}."
[/mm]
Nun weiß ich ja: [mm] a_{n} \le b_{n} \Rightarrow a_{n}-b_{n} [/mm] und zuerst muss ich quadrieren (Tipp des Tutors)
Dann ist auch klar: nicht [mm] fallend=a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
nicht wachsend= [mm] b_{n} \geb_{n+1}
[/mm]
und [mm] (a_{n}-b_{n})_{n\in \IN} \to [/mm] 0
So, dass ist alles, was mir bis jetzt klar ist. Also unterm Strich: Ich hab mal wieder keine Ahnung. Könnte mir jemand vielleicht helfen?
Gruß
Gero
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Hi!
[mm] a_n\le b_n: [/mm] offensichtlich [mm] a_n>0, b_n>0
[/mm]
zeige: [mm] a_n^2-b_n^2\le0 [/mm] (brauchst du nur einzusetzen)
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] monoton steigend und [mm] b_n [/mm] monoton fallend, [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergent
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}:=a
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n+1}:=b
[/mm]
das brauchst du auch nur einzusetzen und es kommt a=b raus.
mfg Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Gero |
Danke für die Antwort! Aber wo muss ich bitte was einsetzen? Und wie komme ich auf [mm] a_{n} ^{2}-b_{n}^{2} \le [/mm] 0 aus [mm] a_{n}-b_{n} \le [/mm] 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Do 25.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Gero!
Ich werde die richtige Antwort von Verena mal ein bisschen ausführlicher gestalten:
Mit vollständiger Induktion zeigt man zunächst:
(*) [mm] $a_n>0$ [/mm] und [mm] $b_n>0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun wollen wir [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] zeigen.
Dazu zeigen wir [mm] $a_n^2 \le b_n^2$, [/mm] wodurch wegen (*) nach Wurzelziehen die Behauptung folgt.
Zu zeigen ist also:
[mm] $a_n^2 [/mm] - [mm] b_n^2 \le [/mm] 0$.
Dies folgt aber, wie Verena schon meinte, durch Einsetzen, und zwar so:
[mm] $a_n^2 [/mm] - [mm] b_n^2 =a_{n-1}b_{n-1} [/mm] - [mm] \left( \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2} \right)^2 [/mm] = [mm] a_{n-1} b_{n-1} [/mm] - [mm] \frac{a_{n-1}^2}{4} [/mm] - [mm] a_{n-1}b_{n-1} [/mm] - [mm] \frac{b_{n-1}^2}{4} [/mm] = - [mm] \frac{a_{n-1}^2}{4} [/mm] - [mm] \frac{b_{n-1}^2}{4} \le [/mm] 0$.
Daraus folgt nun:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \sqrt[2]{a_nb_n} \ge \sqrt[2]{a_n^2} [/mm] = [mm] a_n$,
[/mm]
d.h. [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton steigend, und
[mm] $b_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2} \le \frac{2b_n}{2} [/mm] = [mm] b_n$,
[/mm]
d.h. [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend.
Die Folge [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend und nach unten durch $0$ beschränkt, also konvergent.
Weiterhin ist die Folge [mm] $(b_n [/mm] - [mm] a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wegen
$0 [mm] \le b_n [/mm] - [mm] a_n \le b_1 [/mm] - [mm] a_1$
[/mm]
beschränkt und monoton fallend, also konvergent.
Dann muss aber auch die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] (b_n [/mm] - [mm] (b_n [/mm] - [mm] a_n))_{n \in \IN}$ [/mm] konvergent sein.
Es existieren also:
[mm] $a_0:= \lim\limits_{n \to \infty} a_n$
[/mm]
und
[mm] $b_0:= \lim\limits_{n \to \infty} b_n$.
[/mm]
Aus
[mm] $b_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_n + b_n}{2}$
[/mm]
folgt durch Grenzübergang:
[mm] $b_0 [/mm] = [mm] \frac{a_0 + b_0}{2}$,
[/mm]
also:
[mm] $b_0 [/mm] = [mm] a_0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 25.11.2004 | | Autor: | Gero |
Danke für deine Antwort, ich seh grad über das Mathechaos überhaupt nicht mehr raus! Sozusagen: "Ich seh vor lauter Definitionen, die Lösung nicht mehr"! 
Gruß
Gero
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