rekursive Folge, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
| Aufgabe | Grenzwert bestimmen von
[mm] a_n=\bruch{(a_{n-1}+a_{n-2})}{2}
[/mm]
mit [mm] a_1=a, a_2=b [/mm] |
Jau, wie macht man das?
einsetzen von a, b, o.ä. funktioniert überhaupt nicht... wie geht das denn bei rekursiven Funktionen die mehr als 1 Anfangsbedingung haben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dr.Ogen!
Weise zunächst nach, dass diese Folge sowohl monoton als auch beschränkt ist (z.B. mittels vollständiger Induktion).
Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz der Folge und Du kannst den Grenzwert über den Ansatz $x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n-1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n-2}$ [/mm] lösen.
Gruß
Loddar
PS.: Gibt es eigentlich eine Aussage über $a_$ und $b_$ (z.B. welcher Term größer ist)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Dr.Ogen |
Hi Loddar,
dann würde da also [mm] x=\bruch{x+x}{2} [/mm] stehen.
Was gibt mir das für eine Aussage? Und wo stecken da die Anfangswerte a und b drin? Konvergenz ansich konnte ich nachweisen, grafisch sieht das auch alles logisch aus, aber ich hab hier eine Lösung für den Grenzwert in Abhängigkeit von a und b und komme nicht auf das was richtig sein soll.
(x = [mm] \bruch{2b+a}{3})
[/mm]
achso: a, b [mm] \in \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Do 29.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze ohne Verletzung der Allgemeinheit a<b, sonst vertauschen.
dann ist ist das ganze ne Intervallschachtelung im Intervall a,b
also wird das Intervall 0,1 genauso geteilt.
Dann kann man mit Induktion leicht zeigen, dass im Dualsystem die Iteration 0,101010..... periodisch ist.
Villeicht auch direkt, dass die Iteration auf 2/3 zuläuft, weil alle Werte abechselnd größer und kleiner 2/3 sind.
Gruss leduart
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