rekursive Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei die Folge [mm] a_{n=1}^\infty [/mm] rekursiv definitert durch
[mm] a_1=0; a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16)
[/mm]
Untersuchen auf Konvergenz und ggb. Grenzwert bestimmen.
Hinweis: Erst zeigen 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 |
Erst nur eine Frage zum "Hinweis"-Teil:
zZ.: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 2
Kann ich im Induktionsschluss sagen:
[mm] a_{n+1} \ge [/mm] 0 trivial
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16) \underbrace{=}_{IV} \frac{16}{12} \le [/mm] 2
Oder hab ich was falsch gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Folge [mm]a_{n=1}^\infty[/mm] rekursiv definitert durch
> [mm]a_1=0; a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16)[/mm]
>
> Untersuchen auf Konvergenz und ggb. Grenzwert bestimmen.
> Hinweis: Erst zeigen 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 2
> Erst nur eine Frage zum "Hinweis"-Teil:
>
> zZ.: 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 2
> Kann ich im Induktionsschluss sagen:
> [mm]a_{n+1} \ge[/mm] 0 trivial
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16) \underbrace{=}_{IV} \frac{16}{12} \le[/mm]
Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht richtig !
Nach Ind. Vor. ist 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 2, also
[mm]a_{n+1}[/mm] = [mm] \frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16) \le \frac{1}{12}(4+2+16) [/mm] = ? [mm] \le [/mm] ?
FRED
> 2
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> Oder hab ich was falsch gemacht?
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> Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht richtig !
>
> Nach Ind. Vor. ist 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 2, also
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16) \le \frac{1}{12}(4+2+16)[/mm]
> = ? [mm]\le[/mm] ?
Ha, genau du hast auch 2 eingesetzt. Ich hatte dort aber 0 eingesetzt wegen [mm] a_n [/mm] geht das auch so oder ist das dann unlogisch/falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > Das zweite Gleichheitszeichen ist nicht richtig !
> >
> > Nach Ind. Vor. ist 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 2, also
> >
> > [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{1}{12}(a_n^2+a_n+16) \le \frac{1}{12}(4+2+16)[/mm]
> > = ? [mm]\le[/mm] ?
>
> Ha, genau du hast auch 2 eingesetzt. Ich hatte dort aber 0
> eingesetzt wegen [mm]a_n[/mm] geht das auch so oder ist das dann
> unlogisch/falsch?
Wenn Du 0 einsetzt mußt Du " [mm] \ge [/mm] "schreiben, aber Du willst doch auf [mm] $a_{n+1}\le [/mm] 2$ hinaus !
FRED
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Ne ist ja nicht größer als 2 wenn man 0 einsetzt also was ich mir überlegt habe ist einfach:
Egal welche Zahl man berechnet es kommt irgendwann beim letzten Punkt an [mm] a_1=0 [/mm] daher die Null.
[mm] \frac{1}{12}((\frac{1}{12}(0+0+16))^2+(\frac{1}{12}(0+0+16))+16)
[/mm]
also läuft es immer wieder auf die [mm] \frac{16}{12}*\frac{16+z}{12}*\frac{16+y}{12} [/mm] hinaus
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Hallo DrNetwork!
Zumindest mir erschließt sich überhaupt nicht, was Du da rechnest ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Setze im Induktionsschritt (jeweils) einfach ein:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{12}*\left(a_n^2+a_n+16\right) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{12}*\left(0^2+0+16\right) [/mm] \ = \ ... \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{12}*\left(a_n^2+a_n+16\right) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{12}*\left(2^2+2+16\right) [/mm] \ = \ ... \ [mm] \le [/mm] \ 2$$
Gruß vom
Roadrunner
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