rekursive Folge < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 10.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | | Sei (an)n∈N die durch [mm] a_1 [/mm] = [mm] a_2 [/mm] = 1 und [mm] a_n [/mm] = 2a_(n−1) −3a_(n−2) rekursiv definierte Folge. Finden Sie einen Ausdruck für an für alle n ∈N analogzum Ausdruck für das n-te Folgenglied der Fibonaccifolge. |
Hallo!
Ich habe einen Ansatz, komme aber leider ab einen bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Ich wäre froh, mit würde jemand sagen, ob der Ansatz komplett falsch ist oder woran es gegebenenfalls scheitert... Danke! :)
Ich habe damit begonnen:
[mm] F_n [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} Fn \\ Fn-1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A*\begin{pmatrix} Fn-1 \\ Fn-2 \end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] A^{n-2}*\begin{pmatrix} F2 \\ F1 \end{pmatrix}
[/mm]
wobei A =
[mm] \begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm]
Macht das soweit Sinn?
dann wollte ich A^(n-2) berechnen, um einen allgemeinen Ausdruck für Fn zu finden.
Diese wollte ich über die Eigenwerte tun.
Jedoch komme ich auf imaginäre EWs,
nämlich
1 + i [mm] \wurzel{2} [/mm]
und
1 - i [mm] \wurzel{2} [/mm]
und damit auf D =
[mm] \begin{pmatrix}
1 & - \wurzel{2} \\
\wurzel{2} & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Ich wollte
A^(n-2) = S^(-1)*D^(n-2)*S
berechnen.
Aber ich kann ja bei D in diesem Fall nicht "nur" die Diagonalelemente potenzieren..
Bitte um Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Sa 11.03.2017 | | Autor: | Fulla |
> Sei (an)n∈N die durch [mm]a_1[/mm] = [mm]a_2[/mm] = 1 und [mm]a_n[/mm] = 2a_(n−1)
> −3a_(n−2) rekursiv definierte Folge. Finden Sie einen
> Ausdruck für an für alle n ∈N analogzum Ausdruck für
> das n-te Folgenglied der Fibonaccifolge.
> Hallo!
> Ich habe einen Ansatz, komme aber leider ab einen
> bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Ich wäre froh, mit
> würde jemand sagen, ob der Ansatz komplett falsch ist oder
> woran es gegebenenfalls scheitert... Danke! :)
Hallo Franzi,
scheinbar ist dein Ansatz ähnlich dem, der auch auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gezeigt wird.
Wenn du das ganz analog durchrechnest, kommst du auch auf das richtige Ergebnis.
Beachte dabei Folgendes:
Die Notation dort ist
[mm]\vektor{a_n \\ a_{n+1}}=A^n\cdot\vektor{a_0\\ a_1}[/mm]
und in dem Fall ist
[mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ -3 & 2 } [/mm]
Problem: Deine Folge beginnt mit [mm]a_1[/mm].
Lösung: Berechne [mm]a_0[/mm] gemäß [mm]a_2=2a_1-3a_0[/mm]
(oder "bastle" etwas am [mm]n[/mm] rum, das sollte auch gehen)
> Ich habe damit begonnen:
>
> [mm]F_n[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} Fn \\ Fn-1 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]A*\begin{pmatrix} Fn-1 \\ Fn-2 \end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]A^{n-2}*\begin{pmatrix} F2 \\ F1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> wobei A =
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & -3 \\
1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Macht das soweit Sinn?
>
> dann wollte ich A^(n-2) berechnen, um einen allgemeinen
> Ausdruck für Fn zu finden.
> Diese wollte ich über die Eigenwerte tun.
> Jedoch komme ich auf imaginäre EWs,
> nämlich
> 1 + i [mm]\wurzel{2}[/mm]
> und
> 1 - i [mm]\wurzel{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das sind auch die Eigenwerte der Matrix, die ich oben angegeben habe.
> und damit auf D =
>
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & - \wurzel{2} \\
\wurzel{2} & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich wollte
> A^(n-2) = S^(-1)*D^(n-2)*S
>
> berechnen.
> Aber ich kann ja bei D in diesem Fall nicht "nur" die
> Diagonalelemente potenzieren..
Der Trick hier ist ja gerade, dass du eine "echte" Diagonlamatrix nimmst, die du leicht potenzieren kannst.
Nimm doch
[mm]D=\pmat{ 1-\sqrt 2i & 0 \\ 0 & 1+\sqrt 2i } [/mm]
und berechne [mm]T[/mm], wobei die Spalten von [mm]T[/mm] die Eigenvektoren von [mm]A[/mm] sind.
Danach formst du [mm]\vektor{a_n \\ a_{n+1}}=A^n\cdot\vektor{a_0\\ a_1}=TD^nT^{-1}\cdot\vektor{a_0\\ a_1}[/mm] um und die obere Zeile der Gleichung ist dann deine gesuchte Formel.
Hinweis: Du wirst bis zum Schluss imaginäre Terme haben. Bei der konkreten Berechnung weiterer Folgenglieder fallen diese aber dann weg.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Sa 11.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Hallo Fulla!
Vielen Dank für deine Antwort!
Mir war nicht bewusst, dass ich die Matrix D so wählen kann?
Ich dachte bei imaginären EWs (s plus/minus i*t) ist die Normalform
[mm] \begin{pmatrix}
s & -t \\
t & s
\end{pmatrix} [/mm]
Wie komme ich auf die Matrix die du mir aufgeschrieben hast?
Vielen Dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 So 12.03.2017 | | Autor: | Fulla |
> Hallo Fulla!
> Vielen Dank für deine Antwort!
> Mir war nicht bewusst, dass ich die Matrix D so wählen
> kann?
Hallo Franzi,
warum sollte das nicht gehen? Wenn komplexe Matrizen nicht "verboten" sind, ist das doch kein Problem...
> Ich dachte bei imaginären EWs (s plus/minus i*t) ist die
> Normalform
> [mm]\begin{pmatrix}
s & -t \\
t & s
\end{pmatrix}[/mm]
Bei diesem Ansatz ist es essentiell, dass [mm]D[/mm] auch tatsächlich Diagonalgestalt hat (wegen dem Potenzieren).
> Wie komme ich auf die Matrix die du mir aufgeschrieben
> hast?
Meinst du [mm]A[/mm]?
Genauso, wie du auf deine Matrix gekommen bist.
Du fängst an mit
[mm]\pmat{. \ & . \ \\ . \ & . \ }\vektor{a_0\\ a_1}=\vektor{a_1 \\ a_2}[/mm]
und füllst die Einträge der Matrix. Die 0 und 1 in der oberen Zeile sollten klar sein. In der untern Zeile fließt die Rekursionsvorschrift ein: Wie musst du [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] kombinieren, damit [mm]a_2[/mm] rauskommt?
Oder meinst du $D$? Das sind einfach die Eigenwerte auf der Diagonalen.
> Vielen Dank! :)
Gerne!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 16.03.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Vielen Dank! :)
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