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rektifizierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 20.07.2011
Autor: frato

Heyho,

ich lerne momentan für eine Klausur und bin bei einer Aufgabe/bzw. deren Lösung auf Rektifizierbarkeit gestoßen. Da ich das noch nie gehört habe und in meinen Unterlagen ebenfalls nichts zu finden war, habe ich versucht mich im Internet schlau zu machen, was denn das genau ist...

Habe ich es richtig verstanden, dass Rektifizierbarkeit bedeutet, dass man die Länge einer Kurve angeben kann? Das die Länge also nicht unendlich ist...?

Vielen Dank!

        
Bezug
rektifizierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 20.07.2011
Autor: kamaleonti

Moin frato,
>  
> Habe ich es richtig verstanden, dass Rektifizierbarkeit
> bedeutet, dass man die Länge einer Kurve angeben kann?

Jo, eine mögliche Definition ist:
Eine Kurve [mm] f:[a,b]\to\IR^n [/mm] heißt rektifizierbar mit der Länge L, wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, sodass für jede Zerlegung
       [mm] a=t_0 der Feinheit [mm] \leq\delta [/mm] gilt:

        [mm] \left|\sum_{i=1}^k\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|-L\right|\leq\varepsilon. [/mm]

> Das die Länge also nicht unendlich ist...?

Ja, siehe auch hier.

LG


Bezug
                
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rektifizierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Mi 20.07.2011
Autor: frato

Ok. Danke.
Wenn ich aber bei deinem Link schaue, dann heißt es dort:
Ist $ [mm] L(f)\le\infty [/mm] $, so heißt f rektifizierbar.
Muss das nicht $ [mm] L(f)<\infty [/mm] $ heißen?

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rektifizierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Mi 20.07.2011
Autor: fred97


> Ok. Danke.
>  Wenn ich aber bei deinem Link schaue, dann heißt es dort:
> Ist [mm]L(f)\le\infty [/mm], so heißt f rektifizierbar.


Dann wäre ja jedes f rektifizierbar !


>  Muss das nicht [mm]L(f)<\infty[/mm] heißen?

Genau

FRED


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rektifizierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mi 20.07.2011
Autor: fred97

Ich würde es etwas einfacher definieren:


Sei $ [mm] f:[a,b]\to\IR^n [/mm] $ stetig. Für eine Zerlegung $Z= [mm] \{t_0, ..., t_k\}$ [/mm] des Intervalls [a,b] sei

          $L(Z):= [mm] \sum_{i=1}^k\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|$ [/mm]

f  heißt rektifizierbar, wenn es ein M [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:

                    $L(Z) [mm] \le [/mm] M$

für jedes Zerlegung  Z von [a,b].

In diesem Fall heißt

                     $L(f): = sup [mm] \{ L(Z): Z ~~Zerlegung~~ von~~ [a,b]\}$ [/mm]

die Länge von f.

Ist [mm] $f=(f_1,,..,f_n)$, [/mm] so gilt:

              f ist rektifizierbar [mm] \gdw [/mm]  alle [mm] f_1, [/mm] ..., [mm] f_n [/mm] sind auf [a,b]  von beschränkter Variation.

FRED

Bezug
                
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rektifizierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:58 Mi 20.07.2011
Autor: frato

Wie immer perfekt! Ich habs verstanden. Vielen Dank!

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