rekrusive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:07 Mi 22.11.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | Gegeben seien a, b > 0. Die Folge [mm] (x_{n})n \in \IN [/mm] sei rekursiv definiert durch
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *( b + [mm] \bruch{a}{b})
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] (x_{n})n\in \IN [/mm] ist eine beschränkte, monotone Folge. Bestimmen Sie den Limes! |
hey ihr,
mein problem ist dass ich mit der folge überhaupt nichts anfangen kann. gibt es für diese folge eine geschlossene darstellung? weil so wie sie jetzt ist kann ich werde konvergenz noch monotonie beweisen. wie das funktioniert weiß ich, tu mir hier nur etwas schwer weil ich mit der folge nichts anfangen kann?
habs auch schon mit fall unterscheidungen versucht. aber es kommt ja immer drauf an was ich für a,b einstetze. wär nett wenn mir jemand helfen könnte.
mfg trixi.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mi 22.11.2006 | | Autor: | banachella |
Hallo trixi,
> Gegeben seien a, b > 0. Die Folge [mm](x_{n})n \in \IN[/mm] sei
> rekursiv definiert durch
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *( b + [mm]\bruch{a}{b})[/mm]
leider hast du hier nur den Startwert [mm] $x_1$ [/mm] angegeben. Wie ist denn [mm] $x_{n+1}$ [/mm] definiert?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mi 22.11.2006 | | Autor: | trixi86 |
sorry des hab ich wohl ganz vergessen
also der startwert ist
[mm]x_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *( b + [mm]\bruch{a}{b})[/mm] und [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *( [mm] x_{n} [/mm] + [mm]\bruch{a}{x_{n}})[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 22.11.2006 | | Autor: | trixi86 |
ich hoffe jetzt stimmt die folge und mir kann jemand weiter helfen. wäre echt dankbar.
|
|
|
| |
|
Hallo trixi,
das sieht doch jetzt schon viel besser aus!
Gehe nach folgenden Schritten vor:
Zeige zunächst, dass für alle $a,b>0$ gilt, dass der Startwert [mm] $x_1$ [/mm] größer oder gleich [mm] $\sqrt [/mm] a$ ist.
Zeigen dann, dass für [mm] $x\ge\sqrt [/mm] a$ gilt: [mm] $\bruch 12\left(x+\bruch ax\right)\le [/mm] x$.
Nun hast du eine monotone und beschränkte Folge, die folglich gegen den einzigen Fixpunkt der Funktion konvergiert. Um also den Limes zu ermitteln berechnest du die Lösung von [mm] $\bruch 12\left(x+\bruch ax\right)= [/mm] x$.
Kommst du damit zurecht?
Gruß, banachella
|
|
|
|
