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| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{n^{n+ \bruch{1}{n}}}{(n+ \bruch{1}{n})^n}
[/mm]
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wie kann ich hier schauen, ob sie divergiert oder konvergiert? eigentlich müsste es ja divergieren, denke ich. aber ich würde auch keine minorante finden.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo linalaunebärli,
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{n^{n+ \bruch{1}{n}}}{(n+ \bruch{1}{n})^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> wie kann ich hier schauen, ob sie divergiert oder
> konvergiert? eigentlich müsste es ja divergieren, denke
> ich. aber ich würde auch keine minorante finden.
Brauchst du auch nicht, schaue, ob das Trivialkriterium erfüllt ist, ob also $\left(\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\left(n+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n\in\IN}$ überhaupt eine Nullfolge ist
Dazu klammere im Nenner mal in der Klammer n aus und hole es als n^n raus; im Zähler hilft ein einfaches Potenzgesetz ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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ah, danke, daran hatte ich gar nicht mehr gedacht. ja, dann habe ich die nte Wurzel aus n im Zähler und die wird im unendlichen ja 1. und im nenner habe ich (1 + [mm] 1/n2)^n [/mm] und das strebt auch gegen 1. ist damit die divergenz schon gezeigt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Blech |
> ah, danke, daran hatte ich gar nicht mehr gedacht. ja, dann
> habe ich die nte Wurzel aus n im Zähler und die wird im
> unendlichen ja 1. und im nenner habe ich (1 + [mm]1/n2)^n[/mm] und
> das strebt auch gegen 1.
Woran sieht man das? Ist das nicht trivial oder steh ich auf'm Schlauch?
> ist damit die divergenz schon
> gezeigt?
Ja. Denn
[mm] $\left( 1 + \frac1n\right)^n\ \nearrow\ [/mm] e$
also kann ich die Folge auf jeden Fall nach oben abschätzen. Damit kann ich die einzelnen Summanden nach unten abschätzen, und wenn ich weiß, daß [mm] $a_i\geq \varepsilon$, [/mm] dann gilt
[mm] $\sum_{i=1}^n a_i \geq n*\varepsilon\ \to\ \infty$
[/mm]
ciao
Stefan
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