regelmäßiges n-Eck und Kreis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist ein allgemeiner Kreis, umschrieben werden soll mit einem regelmäßigen n-Eck und einbeschrieben werden soll mit einem regelmäßigen n-Eck. Die Seitenlänge einer der Seiten des größeren n-Ecks soll Sn und die des kleineren sn heißen. Wenn man vom Mittelpunkt des Kreises die n-Ecken jeweils in n-2 Dreiecke zerteilt, dann soll ein Radius, der vom Mittelpunkt aus als Winkelhalbierende dieses Dreieck teilt und die Strecken mit der Länge sn und Sn im rechten Winkel schneidet als oberes Stück h heißen, was auch als Höhe in dem Trapez (ABCD) das von Sn, sn und den Strecken AB und CD gebildet wird. Die Aufgabe besteht darin die Differenzfläche zwischen An (des großen n-Ecks) und an (des kleinen n-Ecks) abzuschätzen auf und zu zeigen dass diese Fläche kleiner ist als 32*r/n. Als Zwischenschritte sind gegeben h<sn/2 und sn<Sn<=8r/n für alle n >=4 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Zwischenschritte zur Abschätzung der Gleichung habe ich geschafft. Was mir fehlt, ist eine sinnvolle Abschätzung bzw. Herleitung der Ungleichung h<1/2sn und sn<Sn=<8r/n. Erschwerend kommt hinzu, dass leider ohne Sinussatz und Cosinussatz gearbeitet werden muss. Ich habe schon einiges mit den Strahlensätzen versucht, nur leider komme ich zwar auf die Beziehung h=r(1-sn/Sn) nur leider sehe ich nicht, wie ich nun hiervon auf h<sn/2 kommen soll. Habe auch schon via Pythagoras [mm] (BC/2)^2+h^2=BP^2 [/mm] was versucht, denn BC/2=sn/2 nur leider will mir auch hier die Ungleichung nicht gelingen.
Dass sn<Sn ist, ist per Definition klar, aber dass Sn<8r/n für alle n>=4 kann ich außer den Fall n=4 und eventuell für die Fälle [mm] n=4*2^j [/mm] mit j aus N zeigen, in dem ich den Umfang des Großen n-Ecks mit dem des 2n-Ecks vergleiche und dann per vollständiger Induktion zeige, dass die Sache gilt. Nur leider habe ich keine Ahnung, wie ich die Ungleichung für alle n>=4 zeigen soll.
Meine Frage also : Kann mir jemand helfen die Ungleichungen h<sn/2 für alle n und Sn<=8r/n für alle n>=4 zu zeigen.
Falls jemand eine Skizze zu dem Problem benötigt, für den Fall n=4 habe ich eine detailierte Skizze angefertigt, nur leider weiß ich nicht, wie ich sie einbinden soll. Schicke die Skizze aber gerne jemandem zu oder lade sie irgendwo hoch, wenn mir jemand erklärt, wie und wo.
Ich hoffe, daß mir jemand helfen kann. Für die Mühe bedanke ich mich jetzt schon mal !!!!
DANKE !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:11 Fr 10.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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