reelles Lösungsystem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen für die Differentialgleichung:
y'''-2y''+2y'-y=0. |
Hallo,
ich habe bereits komplexe Lösungen erstellt, muss sie nur noch reell machen, und genau da liegt mein Problem.
Erstmal: Das charakt. Polynom ist [mm] T^3-2T^2+2T-1=0.
[/mm]
Man kommt mit Polynomdivision und pq-Formel zu den Nullstellen:
[mm] T_1=1, T_{2}&=&\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}}, T_{3}&=&\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}}.
[/mm]
Also [mm] \varphi_{1}(t)=e^{x},
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(t)=e^{(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{i\sqrt{\frac{3}{4}}x},
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(t)=e^{(\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{-i\sqrt{\frac{3}{4}}x}.
[/mm]
Ich kenne ja die eulersche Identität und weiß, dass ich durch eventuell geignete Linearkombinationen irgendwie das i wegbekomme, oder?
Aber wie?
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> Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen
> für die Differentialgleichung:
> y'''-2y''+2y'-y=0.
> Hallo,
>
> ich habe bereits komplexe Lösungen erstellt, muss sie nur
> noch reell machen, und genau da liegt mein Problem.
>
> Erstmal: Das charakt. Polynom ist [mm]T^3-2T^2+2T-1=0.[/mm]
> Man kommt mit Polynomdivision und pq-Formel zu den
> Nullstellen:
> [mm]T_1=1, T_{2}&=&\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}}, T_{3}&=&\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}}.[/mm]
>
> Also [mm]\varphi_{1}(t)=e^{x},[/mm]
>
> [mm]\varphi_{2}(t)=e^{(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{i\sqrt{\frac{3}{4}}x},[/mm]
>
> [mm]\varphi_{3}(t)=e^{(\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{-i\sqrt{\frac{3}{4}}x}.[/mm]
>
> Ich kenne ja die eulersche Identität und weiß, dass ich
> durch eventuell geignete Linearkombinationen irgendwie das
> i wegbekomme, oder?
>
> Aber wie?
Hallo Unk,
es gilt z.B.
[mm] $\varphi_{2}(t)+\varphi_{3}(t)\ [/mm] =\ [mm] e^{\frac{1}{2}x}*\left(e^{i\,w\,x}+e^{-i\,w\,x}\right)\ [/mm] =\ [mm] e^{\frac{1}{2}x}*(2\, cos(w\,x))$
[/mm]
wobei [mm] w=\sqrt{\frac{3}{4}}
[/mm]
Damit hast du nebst [mm] \varphi_1(t) [/mm] eine zweite reelle
Lösung. Die dritte erhältst du aus [mm] \varphi_{2}(t)-\varphi_{3}(t)
[/mm]
Wegen der Linearität kannst du dann natürlich
noch auf die auftretenden Faktoren 2 verzichten.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 16.07.2009 | | Autor: | Unk |
> > Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen
> > für die Differentialgleichung:
> > y'''-2y''+2y'-y=0.
> > Hallo,
> >
> > ich habe bereits komplexe Lösungen erstellt, muss sie nur
> > noch reell machen, und genau da liegt mein Problem.
> >
> > Erstmal: Das charakt. Polynom ist [mm]T^3-2T^2+2T-1=0.[/mm]
> > Man kommt mit Polynomdivision und pq-Formel zu den
> > Nullstellen:
> > [mm]T_1=1, T_{2}&=&\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}}, T_{3}&=&\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}}.[/mm]
>
> >
> > Also [mm]\varphi_{1}(t)=e^{x},[/mm]
> >
> >
> [mm]\varphi_{2}(t)=e^{(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{i\sqrt{\frac{3}{4}}x},[/mm]
> >
> >
> [mm]\varphi_{3}(t)=e^{(\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{-i\sqrt{\frac{3}{4}}x}.[/mm]
> >
> > Ich kenne ja die eulersche Identität und weiß, dass ich
> > durch eventuell geignete Linearkombinationen irgendwie das
> > i wegbekomme, oder?
> >
> > Aber wie?
>
> Hallo Unk,
>
> es gilt z.B.
>
> [mm]\varphi_{2}(t)+\varphi_{3}(t)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*\left(e^{i\,w\,x}+e^{-i\,w\,x}\right)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*(2\, cos(w\,x))[/mm]
>
> wobei [mm]w=\sqrt{\frac{3}{4}}[/mm]
>
> Damit hast du nebst [mm]\varphi_1(t)[/mm] eine zweite reelle
> Lösung. Die dritte erhältst du aus
> [mm]\varphi_{2}(t)-\varphi_{3}(t)[/mm]
Fällt hier nicht gerade der cos weg und es bleibt nur noch der Imaginärteil über? Oder meintest du [mm]\varphi_{3}-\varphi_{2}[/mm]?
>
Ok danke. Ist ja eigentlich überhaupt nicht schwer.
> Wegen der Linearität kannst du dann natürlich
> noch auf die auftretenden Faktoren 2 verzichten.
Wieso das?
Dann wäre [mm]\varphi_{2}(t)+\varphi_{3}(t)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*\left(e^{i\,w\,x}+e^{-i\,w\,x}\right)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*(2\, cos(w\,x))=\ e^{\frac{1}{2}x}*\, cos(w\,x)[/mm]?
Das ist mir etwas sehr unklar.
Mit Linearitär kenne ich mich leider nur in der Algebra aus.
>
>
> LG Al-Chw.
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Hallo Unk,
> > > Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen
> > > für die Differentialgleichung:
> > > y'''-2y''+2y'-y=0.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe bereits komplexe Lösungen erstellt, muss sie nur
> > > noch reell machen, und genau da liegt mein Problem.
> > >
> > > Erstmal: Das charakt. Polynom ist [mm]T^3-2T^2+2T-1=0.[/mm]
> > > Man kommt mit Polynomdivision und pq-Formel zu den
> > > Nullstellen:
> > > [mm]T_1=1, T_{2}&=&\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}}, T_{3}&=&\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also [mm]\varphi_{1}(t)=e^{x},[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]\varphi_{2}(t)=e^{(\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{i\sqrt{\frac{3}{4}}x},[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]\varphi_{3}(t)=e^{(\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{3}{4}})x}=e^{\frac{1}{2}x}e^{-i\sqrt{\frac{3}{4}}x}.[/mm]
> > >
> > > Ich kenne ja die eulersche Identität und weiß, dass ich
> > > durch eventuell geignete Linearkombinationen irgendwie das
> > > i wegbekomme, oder?
> > >
> > > Aber wie?
> >
> > Hallo Unk,
> >
> > es gilt z.B.
> >
> > [mm]\varphi_{2}(t)+\varphi_{3}(t)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*\left(e^{i\,w\,x}+e^{-i\,w\,x}\right)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*(2\, cos(w\,x))[/mm]
>
> >
> > wobei [mm]w=\sqrt{\frac{3}{4}}[/mm]
> >
> > Damit hast du nebst [mm]\varphi_1(t)[/mm] eine zweite reelle
> > Lösung. Die dritte erhältst du aus
> > [mm]\varphi_{2}(t)-\varphi_{3}(t)[/mm]
> Fällt hier nicht gerade der cos weg und es bleibt nur
> noch der Imaginärteil über? Oder meintest du
> [mm]\varphi_{3}-\varphi_{2}[/mm]?
>
Es ist hier richtig, daß nur der Imaginärteil übrig bleibt.
Aue einem komplexen Fundamentalsystem kann man sich ein
reelles Fundamentalsystem basteln:
Die Lösung ergibt sich allgemein zu
[mm]y\left(t\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\lambda_{2}*t}+C_{3}*e^{\lambda_{3}*t[/mm]
wobei
[mm]\lambda_{1} \in \IR, \lambda_{2},\lambda_{3} \in \IC[/mm]
mit [mm]\lambda_{3}=\overline{\lambda_{2}}[/mm]
und [mm]\lambda_{2}=a+b*i, \ a,b, \in \IR, b \not=0[/mm]
Dann schreibt sich die Lösung wie folgt:
[mm]y\left(t\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{\left(a+b*i\right)*t}+C_{3}*e^{\left(a-b*i\right)*t[/mm]
[mm]\gdw y\left(t\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+C_{2}*e^{a*t}*\left( \ \cos\left(b*t\right)+i\sin\left(b*t\right) \ \right)+C_{3}*e^{a*t}\left( \ \cos\left(b*t\right)-i\sin\left(b*t\right) \ \right)[/mm]
[mm]\gdw y\left(t\right)=C_{1}*e^{\lambda_{1}*t}+\left(C_{2}+C_{3}\right)*e^{a*t}*\cos\left(b*t\right)+i*\left(C_{2}-C_{3}\right)*e^{a*t}\ \sin\left(b*t\right) [/mm]
Nun wählt man die Konstanten so, daß
[mm]C_{2}+C_{3} \in \IR[/mm]
[mm]i*\left(C_{2}-C_{3}\right) \in \IR[/mm]
Dann hat man ein reelles Fundamentalsystem gefunden.
> >
> Ok danke. Ist ja eigentlich überhaupt nicht schwer.
>
> > Wegen der Linearität kannst du dann natürlich
> > noch auf die auftretenden Faktoren 2 verzichten.
>
> Wieso das?
> Dann wäre [mm]\varphi_{2}(t)+\varphi_{3}(t)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*\left(e^{i\,w\,x}+e^{-i\,w\,x}\right)\ =\ e^{\frac{1}{2}x}*(2\, cos(w\,x))=\ e^{\frac{1}{2}x}*\, cos(w\,x)[/mm]?
Mit [mm]e^{-x}*\cos\left(w*x\right)[/mm] sind auch Vielfache davon Lösungen der DGL.
>
> Das ist mir etwas sehr unklar.
> Mit Linearitär kenne ich mich leider nur in der Algebra
> aus.
> >
> >
> > LG Al-Chw.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 16.07.2009 | | Autor: | Unk |
Dann könnte ich doch beispielsweise zu [mm] \varphi_2-\varphi_3 [/mm] schreiben:
Sei [mm] \xi_3 [/mm] eine reelle Lösung, dann setze:
[mm] \xi_3=\frac{1}{2i}(\varphi_2-\varphi_3) [/mm] und damit hätte ich ja ein reelles Ergebnis, richtig?
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Hallo Unk,
> Dann könnte ich doch beispielsweise zu [mm]\varphi_2-\varphi_3[/mm]
> schreiben:
>
> Sei [mm]\xi_3[/mm] eine reelle Lösung, dann setze:
> [mm]\xi_3=\frac{1}{2i}(\varphi_2-\varphi_3)[/mm] und damit hätte
> ich ja ein reelles Ergebnis, richtig?
Ja.
Beachte aber, daß alle Lösungen der DGL reell sein müssen.
Gruß
MathePower
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Nach dem, was wir vorher schon hatten,
haben wir doch in den Funktionen
[mm] e^x
[/mm]
[mm] e^{x/2}*cos(w\,x)
[/mm]
[mm] e^{x/2}*sin(w\,x)
[/mm]
drei Funktionen, die eine "Basis" oder ein
"Fundamentalsystem" bilden. Nun kann man
aus diesen Basisfunktionen beliebige Linear-
kombinationen bilden, also:
[mm] y=A*e^x+B*e^{x/2}*cos(w\,x)+C*e^{x/2}*sin(w\,x)
[/mm]
Teste dies doch mal durch Ableiten und Ein-
setzen in die gegebene DGL !
Gruß Al-Chw.
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