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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 09.01.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Seien a,b,c,d [mm] \in \IQ [/mm] und w,x,y,z [mm] \in \IR
[/mm]
Zeigen Sie, dass mit folgenden Bedingungen auch w,x,y,z rational sind:
Folgende Zahlen sind rational:
[mm] \bruch{b*y*z+a*w*z-d*x*y-c*w*x}{w*z-x*y}
[/mm]
[mm] \bruch{b*z^{2}+a*x*z-d*x*z-c*x^{2}}{w*z-x*y}
[/mm]
[mm] \bruch{d*w*y+c*w^{2}-b*y^{2}-a*w*y}{w*z-x*y}
[/mm]
[mm] \bruch{d*w*z+c*w*y-b*y*z-a*x*y}{w*z-x*y} [/mm] |
Ok, so richtig ne Idee, wie man das zeigt, habe ich nicht.
Kann man irgendwie zeigen, dass zumindest eine der Bruchzahlen irrational sein muss, wenn eine der der Zahlen w,x,y,z irrational ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Seien a,b,c,d [mm]\in \IQ[/mm] und w,x,y,z [mm]\in \IR[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> mit folgenden Bedingungen auch w,x,y,z rational sind:
>
> Folgende Zahlen sind rational:
>
> [mm]\bruch{b*y*z+a*w*z-d*x*y-c*w*x}{w*z-x*y} =: e[/mm]
>
> [mm]\bruch{b*z^{2}+a*x*z-d*x*z-c*x^{2}}{w*z-x*y} =: f[/mm]
>
> [mm]\bruch{d*w*y+c*w^{2}-b*y^{2}-a*w*y}{w*z-x*y} =: g[/mm]
>
> [mm]\bruch{d*w*z+c*w*y-b*y*z-a*x*y}{w*z-x*y} =: h[/mm]
> Ok, so richtig ne Idee, wie man das zeigt, habe ich nicht.
> Kann man irgendwie zeigen, dass zumindest eine der
> Bruchzahlen irrational sein muss, wenn eine der der Zahlen
> w,x,y,z irrational ist?
Durch die Angabe, dass die Brüche rational sind, weisst Du ausserdem, dass $e,f,g$ und $h$ rational sind (weil sie jetzt gerade als die Brüche definiert sind).
Die (unschöne) Lösung der Aufgabe wird wohl sein, dass Du vier Gleichungen für vier Unbekannte hast und sie soweit auflösen musst, dass Du nurnoch $w(a,b,c,d,e,f,g,h)$, $x(a,b,c,d,e,f,g,h)$, $y(a,b,c,d,e,f,g,h)$ und $z(a,b,c,d,e,f,g,h)$ hast, also Deine reellen Zahlen rein durch rationale Zahlen ausdrückst.
Wenn das nur Polynome und Quotienten in den rationalen Zahlen sind, ist auch das Ergebnis eine rationale Zahl.
Gruß,
AT-Colt
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