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Habe leider keine Ahnung wie ich da ran gehen soll? Brauche ma bitte Starthilfe.
EDITIERT (v. angela.h.b):
Gegeben ist die Matrix A:= $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 8 & -3 & 10\\ 2 & -1 & 3} [/mm] $.
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und geben sie alle (möglicherweise auch komplexe)
Eigenwerte an. Bestimmen Sie einen Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] zu dem reellen Eigenwert [mm] \lambda_1.
[/mm]
b) Die Vektoren [mm] v_2= \vektor{0 \\ -3 \\ -1} [/mm] und [mm] v_3= \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] sind eine Basis von [mm] E_{\lambda_2} \oplus E_{\lambda_3} [/mm] aus reellen Vektoren. Schreiben Sie [mm] Av_1, Av_2 [/mm] und [mm] Av_3 [/mm] jeweils als Linearkombination von [mm] v_1, v_2, v_3. [/mm] Geben Sie die darstellende Matrix bezüglich [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] an.
zu a) habe ich versucht den auszurechnen, aber bin nicht weit gekommen. habe versucht eine Polynomgleichung aufzustellen:
[mm] -\lambda³-\lambda²*spur (A)-2\lambda-19 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mo 23.06.2008 | | Autor: | max3000 |
Da fehlt doch noch irgendwas in der Aufgabenstellung oder nicht?
Also man muss ja noch wissen, was die Abbildung mit der Darstellungsmatrix A überhaupt machen sollen.
Und nimm dir bitte die Zeit und schreib das nochmal mit dem Formeleditor ab. Das ist alles sowas von undeutlich und uneindeutig...
Gruß
Max
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Sorry, habe die Matrix vergessen:
A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 8 & -3 & 10\\ 2 & -1 & 3} [/mm]
Der rest ist doch gut lesbar? Alles andere ist einfach immer (Index)
habe den leider nicht gefunden?!
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kann mir denn keiner helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Was ist denn v1 ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
So meinte ich das nicht.
Die Vektoren v2 und v3 sind in der Aufgabenstellung konkret angegeben. v1 nicht !!!!!
FRED
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Sorry das habe ich vergessen: Also den muss man ausrechnen habe es versucht aber bin icht weit gekommen. habe versucht eine Polynomgleichung aufzustellen:
- lamda³ -lamda² spur (A) - 2 lamda -19
hier erstmal die aufgabe:
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und geben sie alle (moglicherweise auch komplexe)
Eigenwerte an. Bestimmen Sie einen Eigenvektor v1 zu dem reellen Eigenwert lamda1.
matrix habe ich ja schon genannt
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> Habe leider keine Ahnung wie ich da ran gehen soll? Brauche
> ma bitte Starthilfe.
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> EDITIERT (v. angela.h.b):
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> Gegeben ist die Matrix A:= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 8 & -3 & 10\\ 2 & -1 & 3} [/mm].
>
>
> a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und geben
> sie alle (möglicherweise auch komplexe)
> zu a) habe ich versucht den auszurechnen, aber bin nicht
> weit gekommen. habe versucht eine Polynomgleichung
> aufzustellen:
>
> - [mm]\lambda³ -\lambda²[/mm] spur (A) - 2\ lambda -19
>
Hallo,
Du sollstest Dein charakteristisches Polynom nochmal nachrechnen.
Es ist günstig, nicht gleich die Klammern aufzulösen, sondern erstmal zu gucken, ob man Terme der Form x-a ausklammern kann, Das erleichtert die Berechnung der Nullstellen sehr.
Berechne also [mm] det\pmat{ 1-x & 0 & 0\\ 8 & -3-x & 10\\ 2 & -1 & 3-x} [/mm] und bestimme die Nullstellen des Polynoms.
Damit hast Du dann die Eigenwerte.
Zum reellen Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] berechne den Eigenvektor [mm] v_1. [/mm] Hierzu ist eine basis von [mm] Kern\pmat{ 1-\lambda_1 & 0 & 0\\ 8 & -3-\lambda_1 & 10\\ 2 & -1 & 3-\lambda_1} [/mm] zu bestimmen.
Gruß v. Angela
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ok das werde ich morgen posten aber wie siehts mit der letzten aufgabe aus? Wie gehe ich daran? kann mir jemand den Inhalt erklären?
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> ok das werde ich morgen posten aber wie siehts mit der
> letzten aufgabe aus? Wie gehe ich daran? kann mir jemand
> den Inhalt erklären?
Hallo,
die Aufgabe b) kannst Du ohne Kenntnis des Eigenvektors [mm] v_1 [/mm] nicht lösen.
Du wirst vermutlich herausbekommen, daß die matrix einen reellen und zwei nichtreelle Eigenwerte hat, und die gegebenen Vektoren [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind eben, wie auch in der Aufgabe steht, eine reelle Basis der Summe der beiden Eigenräume zu dne komplexen Eigenwerten.
Der Auftrag ist doch klar beschrieben: erstmal sollst Du [mm] Av_i, [/mm] i=1,2,3 berechnen, und dann sollst Du die Koeffizienten [mm] a_i, [/mm] b-i, [mm] c_i [/mm] herausfinden mit
[mm] Av_i=a_iv_1+b_iv_2+c_iv_3.
[/mm]
Die braucht Du nämlich für die darstellende Matrix bzgl der Basis [mm] (v_1, v_2, v_3).
[/mm]
In die i-te Spalte der Matrix kommt [mm] \vektor{a_i \\ b_i\\c_i}, [/mm] nämlich das Bild des i-ten Basisvektors in Koordinaten bzgl [mm] (v_1, v_2, v_3).
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ich bekomme die Lösung einfach nicht mehr raus?! Bitte kann mir jemand nur mal die Gleichung sagen damit ich dann solange rechnen kann bis ich es raus habe? Es ist auf alle Fälle ein n³ Polynom. Danke schon mal
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Hallo!
Falls es um das charakteristische Polynom der oben angegebenen Matrix geht, empfehle ich einen flotten Laplace'schen Entwicklungssatz nach der ersten Zeile!
Dann erhält man
[mm]\chi_{A}(x) = \det\pmat{ 1-x & 0 & 0 \\ 8 & -3-x & 10\\ 2 & -1 & 3-x } = (1-x)*\det\pmat{ -3-x & 10 \\ -1 & 3-x } = (1-x)*((-3-x)*(3-x)-10*(-1))[/mm]
...
Stefan.
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