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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mo 28.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
| Aufgabe | | Geben Sie zwei reelle Funktionen an, die a. d. Stelle x0 nicht differenzierbar sind, deren Produkt aber an dieser Stelle differenzierbar ist. Erläutern Sie Ihre Aussage ohne Rechnung mithilfe der Funktionsgraphen. |
Könnte mir da bitte jemand helfen? :)
Ich dachte mir dass (obwohl ich es ohne Rechnung machen soll), dass ich z.b. für f1(x) = 1/x und für f2(x)= x/1 hinschreibe. Beide sind - wenn ich die 0 einsetze nicht definiert bzw. f2(x) ergibt einfach 0 - deren Produkt aber ergibt doch x/x, also 1 und die Ableitung 0. Ich hab die beiden Funktionen mal gezeichnet. Ist die Begründung für die Differenzierbarkeit des Produktes der Schnittpunkt der beiden Graphen oder täusche ich mich da?
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Hallo,
> Geben Sie zwei reelle Funktionen an, die a. d. Stelle x0
> nicht differenzierbar sind, deren Produkt aber an dieser
> Stelle differenzierbar ist. Erläutern Sie Ihre Aussage
> ohne Rechnung mithilfe der Funktionsgraphen.
> Könnte mir da bitte jemand helfen? :)
>
> Ich dachte mir dass (obwohl ich es ohne Rechnung machen
> soll), dass ich z.b. für f1(x) = 1/x und für f2(x)= x/1
> hinschreibe. Beide sind - wenn ich die 0 einsetze nicht
> definiert bzw. f2(x) ergibt einfach 0 - deren Produkt aber
> ergibt doch x/x, also 1 und die Ableitung 0. Ich hab die
> beiden Funktionen mal gezeichnet. Ist die Begründung für
> die Differenzierbarkeit des Produktes der Schnittpunkt der
> beiden Graphen oder täusche ich mich da?
Du täuschst dich in mehrer Hinsicht. Die Funktion [mm] f_2 [/mm] ist überall auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar, kommt also gar nicht in Betracht.
Ad hoc ist mir folgendes Beispiel eingefallen, und zwar für [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] f_1(x)=|x|
[/mm]
[mm] f_2(x)=|sin(x)|
[/mm]
Beide sind in [mm] x_0=0 [/mm] nicht diffbar, ihr Produkt jedoch schon. Was jetzt dein Job wäre zu zeigen bzw. zu begründen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 28.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
da hab ich ja gut danebengegriffen =D
also für das Produkt f1(x)*f2(x)
x * sin (x) hab ich die Ableitung gebildet.
f´(x)=sinx+x*cos(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> da hab ich ja gut danebengegriffen =D
>
> also für das Produkt f1(x)*f2(x)
> x * sin (x) hab ich die Ableitung gebildet.
> f´(x)=sinx+x*cos(x)
Das Produkt ist aber [mm] |x*\sin(x)|
[/mm]
Begründe, warum das in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist.
FRED
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mo 28.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Einfacher: [mm] f_1(x)=|x|=f_2(x)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mo 28.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
und wie soll ich das dann anhand der Graphen begründen? Ich überlege schon, aber mir fällt blöderweise nichts ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Mo 28.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
> und wie soll ich das dann anhand der Graphen begründen?
> Ich überlege schon, aber mir fällt blöderweise nichts
> ein.
Nicht nur anhand des Graphen.
Nehmen wir mal
[mm] f_{1}(x)=f_{2}(x)=|x|
[/mm]
Das diese Funktion an der Stelle x=0 stetig, aber nicht differenzierbar ist, solltest du schonmal gesehen haben. Wenn nicht, betrachte mal die vier Grenzwerte:
[mm] \lim\limits_{h\to0}|0+h|
[/mm]
[mm] \lim\limits_{h\to0}|0-h|
[/mm]
sowie
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{|0+h|-|0|}{(0+h)-0}
[/mm]
[mm] \lim\limits_{h\to0}\frac{|0-h|-|0|}{(0-h)-0}
[/mm]
Was ist nun mit
[mm] g(x)=f_{1}(x)\cdot f_{2}(x)=|x|\cdot|x|=|x^{2}|=x^{2}
[/mm]
Diese Funktion ist für x=0 differenzierbar, zeige das noch rechnerisch.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Mo 28.01.2013 | | Autor: | KKUT91 |
okay..danke für die gute Antwort :)
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