reell komplex diffbarholomorph < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchen Punkten der komplexen Ebene sind die folgenden Funktionen f: C --> C reell differenzierbar, komplex differentierbar und holomorph
a) f(z):) exp [mm] (z^2) [/mm] über dem [mm] z^2 [/mm] ist noch ein strich. |
Es gilt ja der Zusammenhang
f(x+iy)= [mm] exp((x+iy)^2) [/mm] = [mm] e^{x^2-y^2-2ixy}= e^{x^2-y^2}e^{-2ixy}
[/mm]
und nun steht in meiner Lösung drinne das daraus
[mm] e^{x^2-y^2}(cos(2xy)-isin(2xy)) [/mm] folgt.
nun meine Frage wie kommen die auf cosinus und sinus? gibt es einen Satz dafür?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> In welchen Punkten der komplexen Ebene sind die folgenden
> Funktionen f: C --> C reell differenzierbar, komplex
> differentierbar und holomorph
>
> a) f(z):) exp [mm](z^2)[/mm] über dem [mm]z^2[/mm] ist noch ein strich.
> Es gilt ja der Zusammenhang
>
> f(x+iy)= [mm]exp((x+iy)^2)[/mm]
Es lautet wohl [mm]exp(\quad \overline{(x+iy)^2} \quad )[/mm]
= [mm]e^{x^2-y^2-2ixy}= e^{x^2-y^2}e^{-2ixy}[/mm]
>
> und nun steht in meiner Lösung drinne das daraus
>
>
> [mm]e^{x^2-y^2}(cos(2xy)-isin(2xy))[/mm] folgt.
>
> nun meine Frage wie kommen die auf cosinus und sinus? gibt
> es einen Satz dafür?
Sind a,b [mm] \in \IR [/mm] , so ist [mm] e^{a+ib}=e^a*e^{ib}
[/mm]
Weiter ist [mm] e^{ib}=cos(b)+isin(b)
[/mm]
FRED
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ok danke erstmal,
wenn ich jetzt gucken soll, dass es komplex diffbar ist muss laut meiner Musterlösung die Ableitung von z konjugiert nach [mm] f(z_0)=2z_0*e^{z_0}^2 [/mm] = 0 sein. (ps: im beiden mittleren Teil soll [mm] z_0 [/mm] konjugiert heißen)
Als Lösung steht, dass f nur in [mm] z_0=0 [/mm] komplex diffbar und nirgends holomorph ist.
Zu meiner Frage: Wie kommt man dadrauf und was bedeutet es? Kann man nicht einfach nach CR-Dgl überprüfen? Warum muss man diesen Zwischenschritt machen?
LG
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Hi,
Stichwort: Wirtinger-Ableitung; Wirtinger-Kalkül.
Es gilt:
f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex diffbar [mm] \gdw \partial_{\overline{z}}f(z_0)=0
[/mm]
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Hallo,
zu deiner anderen Frage:
> Kann man nicht einfach nach CR-Dgl überprüfen?
Mach's doch einfach mal. Stelle mal die CRDglen auf ...
Schaden kann's nix ...
Gruß
schachuzipus
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ok habe es verstanden danke.
zu teil b hab ich mal ne frage die Funktion lautet:
f(x+iy)= [mm] x^3y^2+ix^2y^3
[/mm]
setze f(x+iy):= u(x,y)+iv(x,y)
[mm] \bruch{du}{dx}(x,y)= 3x^2y^2
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dy}(x,y)= 2x^3*y
[/mm]
[mm] -\bruch{dv}{dx}(x,y)= -2xy^3
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dy}(x,y)= 3x^2y^2
[/mm]
Das sind die partiellen Ableitungen.
Nach CR gilt: [mm] u_x=v_y [/mm] und [mm] u_y=-v_x
[/mm]
da diese Voraussetzungen gelten müssen, ist die Bedingung [mm] x^3*y+x*y^3=0
[/mm]
a) wie kommt man auf diese Bedingung? Durch diese Bedingung gilt doch nicht mehr [mm] u_x=v_y [/mm] oder?
[mm] x^3* y+x*y^3= xy(x^2+y^2)=0 [/mm] und daraus folgt: "Also ist f gerade
auf den Koordinatenachsen komplex differenzierbar und die Funktion ist nirgends holomorph."
b)wieso gerade auf den Koordinatenachsen?
Lg
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Hi,
> ok habe es verstanden danke.
>
> zu teil b hab ich mal ne frage die Funktion lautet:
>
> f(x+iy)= [mm]x^3y^2+ix^2y^3[/mm]
>
> setze f(x+iy):= u(x,y)+iv(x,y)
>
> [mm]\bruch{du}{dx}(x,y)= 3x^2y^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dy}(x,y)= 2x^3*y[/mm]
>
> [mm]-\bruch{dv}{dx}(x,y)= -2xy^3[/mm]
>
> [mm]\bruch{dv}{dy}(x,y)= 3x^2y^2[/mm]
>
> Das sind die partiellen Ableitungen.
>
> Nach CR gilt: [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm]
>
> da diese Voraussetzungen gelten müssen, ist die Bedingung
> [mm]x^3*y+x*y^3=0[/mm]
>
> a) wie kommt man auf diese Bedingung? Durch diese Bedingung
> gilt doch nicht mehr [mm]u_x=v_y[/mm] oder?
Na doch. Denn [mm] u_x=v_y [/mm] ist doch für alle x und y sowieso erfüllt. Daher betrachtet man nur noch die zweite Bedingung.
>
> [mm]x^3* y+x*y^3= xy(x^2+y^2)=0[/mm] und daraus folgt: "Also ist f
> gerade
> auf den Koordinatenachsen komplex differenzierbar und die
> Funktion ist nirgends holomorph."
>
> b)wieso gerade auf den Koordinatenachsen?
Die Gleichung ist doch nur für x=0, bzw. y=0 erfüllt (entsprechend andere Variable egal). Also sind das gerade die KO-Achsen.
>
> Lg
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ok, also kann man immer wenn eine Bedingung schon sowieso erfüllt ist, die "ignorieren".?
und woran erkenne ich immer, dass dies nirgends holomorph ist?
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> ok, also kann man immer wenn eine Bedingung schon sowieso
> erfüllt ist, die "ignorieren".?
Das ist wohl das falsche Wort. Du siehst einfach, dass die erste Gleichung für alle [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] erfüllt ist. Nun schaust du dir die zweite Bedingung an, und dort gibt es eben Einschrönkungen.
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> und woran erkenne ich immer, dass dies nirgends holomorph
> ist?
An der Definition von holomorphen Funktionen. Stichwort: Offene Umgebung...
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