rechnen mit matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Do 23.04.2009 | | Autor: | biic |
tag zusammen..hab mal wieder ne frage:
ich möchte zeigen dass
[mm] \left( \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \ \vdots & \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \right)^{-1} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1=\frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \\ \overline{y}-b_1 \overline{x} \end{pmatrix} [/mm]
wobei [mm] \overline{x} [/mm] das arithm. mittel ist.
bin beim matrizenrechnen aus der übung und komme nicht weiter...kann mir jemand sagen ob ich noch richtig bin und wenn ja, womit ich weiterkommen kann ?
bisheriger ansatz:
[mm] \left( \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \ \vdots & \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \right)^{-1} [/mm] X' y [mm] \\
[/mm]
= [mm] \begin{pmatrix} n & \sum{x_i} \\ \sum{x_i} & \sum{x_i^2} \end{pmatrix}^{-1} [/mm] X' y [mm] \\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{n\sum{x_i^2}-\sum{x_i}\sum{x_i}} \begin{pmatrix}\sum{x_i^2} & -\sum{x_i} \\ -\sum{x_i} & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{n\sum{x_i^2}-\sum{x_i}\sum{x_i}} \begin{pmatrix}\sum{x_i^2} & -\sum{x_i} \\ -\sum{x_i} & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sum{y_i} \\ \sum{x_iy_i}\end{pmatrix} \\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{n\sum{x_i^2}-\sum{x_i}\sum{x_i}} \begin{pmatrix}\sum{x_i^2}\cdot\sum{y_i}-\sum{x_i}\cdot\sum{x_iy_i}\\ -\sum{x_i}\cdot\sum{y_i}+n\sum{x_iy_i}\end{pmatrix} [/mm]
danke für antworten.
frage nirgends anders gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:22 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich möchte zeigen dass
>
> [mm]\left( \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \ \vdots & \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \right)^{-1}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1=\frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \\ \overline{y}-b_1 \overline{x} \end{pmatrix}[/mm]
>
> wobei [mm]\overline{x}[/mm] das arithm. mittel ist.
Vielleicht ist es einfacher, dies zu dieser Gleichung umzuformen:
[mm]\begin{pmatrix} \sum x_i \\ \sum x_i y_i \end{pmatrix} = \left( \begin{pmatrix} 1& 1& \cdots &1 \\ x_1&x_2&\cdots &x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \\ \ \vdots & \\ 1 & x_n \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} b_1=\frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \\ \overline{y}-b_1 \overline{x} \end{pmatrix}[/mm]
Das sieht zumindest etwas handlicher aus 
Allein schon wenn du zwei der Produkte ausrechnest:
[mm]\begin{pmatrix} \sum x_i \\ \sum x_i y_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n & \sum{x_i} \\ \sum{x_i} & \sum{x_i^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ \overline{y}-b_1 \overline{x} \end{pmatrix}[/mm] mit [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2}$
[/mm]
Die rechte Seite kannst du jetzt weiter ausmultiplizieren und bekommst
[mm]\begin{pmatrix} \sum x_i \\ \sum x_i y_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n b_1 + (\sum x_i) (\overline{y} - b_1 \overline{x}) \\ b_1 \sum{x_i} + (\sum{x_i^2}) (\overline{y} - b_1 \overline{x}) \end{pmatrix}[/mm] mit [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2}$
[/mm]
Damit hast du noch zwei Gleichungen:
[mm] $\sum x_i [/mm] = n [mm] b_1 [/mm] + [mm] (\sum x_i) (\overline{y} [/mm] - [mm] b_1 \overline{x})$ [/mm] und [mm] $\sum x_i y_i [/mm] = [mm] b_1 \sum{x_i} [/mm] + [mm] (\sum{x_i^2}) (\overline{y} [/mm] - [mm] b_1 \overline{x})$ [/mm] mit [mm] $b_1 [/mm] = [mm] \frac{\overline{xy}-\overline{y}\cdot\overline{x}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2}$.
[/mm]
Damit kommst du hoffentlich besser weiter.
LG Felix
|
|
|
|
