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| Aufgabe | beweisen sie:
ggt(a,m)=1 und ggt(b,m)=1 <=> ggt(ab,m)=1 |
meine idee für "=>":
es ex. x,y,s,t [mm] \in \IZ: [/mm] ax+my=1 und bs+mt=1
=> (ax+my)*(bs+mt)=1*1=1
=> ab(xs)+m(axt+bsy)+mm(yt)=1
ist das der richtige weg? und wenn ja wie gehts weiter? auch für die andere richtugn hab ich noch nicht so den ansatz.
vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Schöne grüße,
grafzahl123
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Hallo grafzahl,
> beweisen sie:
> ggt(a,m)=1 und ggt(b,m)=1 <=> ggt(ab,m)=1
> meine idee für "=>":
> es ex. x,y,s,t [mm]\in \IZ:[/mm] ax+my=1 und bs+mt=1
Du darfst also das Lemma von Bézout verwenden?
> => (ax+my)*(bs+mt)=1*1=1
> => ab(xs)+m(axt+bsy)+mm(yt)=1
>
> ist das der richtige weg? und wenn ja wie gehts weiter?
[mm] $\Rightarrow [/mm] ab(xs)+m(axt+bsy+myt)=1$
Man könnte auch über den Fundamentalsatz gehen und so argumentieren:
$ab$ hat alle Primfaktoren von a und alle von b, aber keine darüber hinaus. Wenn also weder a noch b mit m einen Primfaktor gemeinsam haben, dann auch $ab$ nicht.
> auch für die andere richtugn hab ich noch nicht so den
> ansatz.
> vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Geht so ähnlich über den Fundamentalsatz.
Oder Du zeigst, dass [mm] \ggT{(a,m)}=\ggT({\ggT{(a,ab)}, \ggT{ab,m})} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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