rationalität von wurzelsummen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Di 03.04.2007 | | Autor: | Schwede |
| Aufgabe | Eine Frage aus einem schwedischen Mathewettbewerb:
Zeige wenn a, b, c positive rationelle Zahlen und ( [mm] \wurzel{a} [/mm] + [mm] \wurzel{b} [/mm] + [mm] \wurzel{c} [/mm] ) auch rational ist, so sind auch [mm] \wurzel{a}, \wurzel{b}, \wurzel{c} [/mm] im einzelnen rational.
Ralf |
Ich versuch mich gerade an dieser Frage und finde keinen rechten Ansatz. a,b,c als gekürzte Brüche darzustellen führte bisher zu nichts. Wie kann man ansetzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Di 03.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}+\wurzel{c}
[/mm]
Aufspiltten in einen Bruch
[mm] =\wurzel{\bruch{z_{a}}{n_{a}}}+\wurzel{\bruch{z_{b}}{n_{b}}}+\wurzel{\bruch{z_{c}}{n_{c}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{z_{a}}}{\wurzel{n_{a}}}+\bruch{\wurzel{z_{b}}}{\wurzel{n_{b}}}+\bruch{\wurzel{z_{c}}}{\wurzel{n_{c}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}+\wurzel{z_{a}}\wurzel{n_{b}}\wurzel{z_{c}}+\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{n_{c}}}{\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{n_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}}{\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}}+\bruch{\wurzel{z_{a}}\wurzel{n_{b}}\wurzel{z_{c}}}{\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}}+\bruch{\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{n_{c}}}{\wurzel{z_{a}}\wurzel{z_{b}}\wurzel{z_{c}}}
[/mm]
Hilft das irgenwie erstmal weiter?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 03.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Sei
[mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}+\wurzel{c} = q [/mm] q rational
[mm]\wurzel{a}+\wurzel{b} = q - \wurzel{c}[/mm] beide Seiten quadrieren
[mm]a + b +2*\wurzel{a*b} = q^2 + c - 2*q*\wurzel{c}[/mm]
[mm]2*\wurzel{a*b} = (q^2 + c - a - b) - 2*q*\wurzel{c}[/mm] - quadrieren
[mm]4ab = (q^2 + c - a - b)^2 + 4*q^2*c - 4*q*(q^2 + c - a - b)*\wurzel{c}[/mm]
oder
[mm]\wurzel{c} = \bruch { (q^2 + c - a - b)^2 + 4*q^2*c -4ab}{4*q*(q^2 + c - a - b)}[/mm]
rechts steht nun eine rationale zahl q.e.d
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