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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Do 11.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Zur Abwechslung mal wieder eine wohl einfachere Frage von mir.
Ich habe gerade überlegt, ob die Differenz zweier rationaler Zahlen immer rational ist. Ich würde sagen, ja. Und die Summe auch und das Produkt auch. Der Quotient ja wohl eher nicht.
Ich brauche hier keineswegs einen Beweis! Nur eine Zustimmung oder Widerlegung.
Und vielleicht noch einen kleinen Zusatz:Woher kommen dann die irrationalen Zahlen? Nur von der Division zweier rationaler Zahlen?
Also, hiermit habe ich es ausnahmsweise mal überhaupt nicht eilig...
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Do 11.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Bastiane,
Summe, Differenz, Produkt und Quotient (außer natürlich Divisor = 0) rationaler Zahlen sind wieder rational. Schließlich ist die Menge der rationalen Zahlen ein Körper.
Gruß Sigrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bastiane!
> Und vielleicht noch einen kleinen Zusatz:Woher kommen dann
> die irrationalen Zahlen? Nur von der Division zweier
> rationaler Zahlen?
Daher können sie nicht kommen, da, wie Sigrid schon sagte:
[mm] $\IQ$ [/mm] mit der für uns gewöhnlichen Addition und Multiplikation ist ein Körper, d.h. insbesondere,
dass $+$ eine Abbildung ist (und zwar: [mm] $+:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$) [/mm] und auch [mm] $*:\; \IQ \times \IQ \to \IQ$.
[/mm]
Das, was dir als $:$ (Division) bekannt ist, heißt eigentlich:
Für $a,b [mm] \in \IQ$, [/mm] $b [mm] \not=0$ [/mm] wird $a:b$ definiert durch:
[mm] $a:b:=a*b^{-1}$.
[/mm]
Deswegen führt die Divison Elemente von [mm] $\IQ$ [/mm] auch wieder in Elemente von [mm] $\IQ$ [/mm] über, denn das [mm] $b^{-1}$ [/mm] ist ja als inverses Element des Körpers [mm] $\IQ$ [/mm] bzgl. $*$ wieder ein Element von [mm] $\IQ$, [/mm] d.h.:
[mm] $b^{-1} \in \IQ$.
[/mm]
Analoges für (jetzt darf auch $b=0$ gelten, hier also: $b [mm] \in \IQ$):
[/mm]
$a-b:=a+(-b)$, wobei $-b$ das Inverse in [mm] $\IQ$ [/mm] zu $b$ bzgl. $+$ ist.
Die irrationalen Zahlen kommen z.B. daher, dass [mm] $\IQ$ [/mm] nicht vollständig ist:
Es gibt Cauchyfolgen in [mm] $\IQ$, [/mm] die in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergieren!
Eine solche kann man sogar sehr oft hinschreiben mittels des Babylonischen Wurzelziehens:
![[]](/images/popup.gif) Skript zur Analysis
Seite 40 (skriptinterne Zählung oben rechts), Beispiel 5.13.2
Z.B. kannst du dort $x=2$ wählen und startest mit [mm] $a_0=3 \in \IQ$. [/mm]
Weil eben [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper ist, ist wegen [mm] $a_0 \in \IQ$, [/mm] $x [mm] \in \IQ$ [/mm] und wegen [mm] $\frac{1}{2} \in \IQ$ [/mm] auch [mm] $a_1 \in \IQ$, [/mm] wegen [mm] $a_1 \in \IQ$ [/mm] dann auch [mm] $a_2\in \IQ$, [/mm] wegen [mm] $a_2 \in \IQ$ [/mm] dann auch [mm] $a_3 \in \IQ$ [/mm] ... (induktiv geht's weiter!  ).
(Ist dir klar, warum? Das liegt wieder daran, dass $+$ und $*$ jede rationale Zahl wieder auf eine rationale Zahl abbilden und weil [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ja nur entsteht, in dem man die Rechenoperationen $+$ und $*$ bzgl. [mm] $a_n$ [/mm] benutzt:
Denn: Wenn [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] und $x [mm] \in \IQ$gilt, [/mm] dann gilt:
[mm] $\frac{x}{a_n}=x*a_n^{-1} \in \IQ$, [/mm] da [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] ist und daher [m]a_n^{-1} \in \IQ[/m] und weil [mm] $*:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$.
[/mm]
Wegen [mm] $+:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$ [/mm] ist dann auch [m]a_n+\frac{x}{a_n} \in \IQ[/m] und deswegen folgt dann weiter, weil [mm] $\frac{1}{2} \in \IQ$ [/mm] und weil [mm] $*:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$:
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2}*\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)\in \IQ$, [/mm] also:
[mm] $a_{n+1} \in \IQ$.)
[/mm]
D.h., alle Folgeglieder der dort definierten Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] (mit z.B. der Wahl $x=2$ und [mm] $a_0=3$) [/mm] sind Elemente von [mm] $\IQ$.
[/mm]
(Es gilt also: Für $x=2$ und [mm] $a_0=3$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n \in \IQ$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \cup \{0\}$).
[/mm]
Man kann zeigen (habe ich zwar noch nie gemacht, aber es ist machbar; das ergibt sich nämlich, weil die Folge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert; aber dieses Argument dürften wir nicht benutzen, denn wir wissen an dieser Stelle ja noch gar nicht, was [mm] $\IR$ [/mm] überhaupt ist; ich tu's aber trotzdem, weil ich weiß (oder zu wissen glaube ) was [mm] $\IR$ [/mm] ist ):
Diese Folge ist eine Cauchyfolge. In [mm] $\IQ$ [/mm] aber kann diese Folge nicht konvergieren, d.h. es gibt keine rationale Zahl, so dass diese rationale Zahl der Grenzwert dieser Folge wäre.
Denn:
Wie du dem Beweis entnimmst, konvergiert diese Folge dann (in [mm] $\IR$) [/mm] gegen irgendetwas komisches, was wir dann [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] nennen.
Es kann damit nicht sein, dass die Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergiert, sonst wäre der Grenzwert der Folge nicht eindeutig.
(Das ist kein Widerspruch zu obigen, als ich sagte, dass die Folge in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergiere, denn [mm] $\wurzel{2} \notin \IQ$. [/mm] Den Beweis, dass [mm] $\wurzel{2} \notin \IQ$, [/mm] kennst du sicherlich, falls nicht, er wurde vor kurzem hier im Forum vorgeführt:
https://matheraum.de/read?i=24650
Er steht aber auch irgendwo in der Mathebank (welche momentan leider nicht erreichbar ist).)
[Pass bitte auf: Ich argumentiere hier schon mit einem Wissen, dass man natürlich nicht hat, wenn man nur [mm] $\IQ$ [/mm] kennt. Ich will ja auch nur begründen, dass es eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$ [/mm] gibt, deren Grenzwert kein Element von [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Dass die Folge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent ist, weißt du natürlich eigentlich noch nicht, denn hier weißt du ja noch gar nicht, was [mm] $\IR$ [/mm] überhaupt sein soll.
Formal müßte man also so rangehen:
1.) Zeigen: Die Folge ist eine Cauchyfolge in [mm] $\IQ$.
[/mm]
2.) Zeigen: Es gibt keinen Grenzwert in [mm] $\IQ$. [/mm] Vermutlich mit einem Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es gäbe ein $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $a_n \to [/mm] q$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Dann.... wäre [mm] $q=\wurzel{2}$, [/mm] aber [mm] $\wurzel{2} \notin \IQ$. [/mm] Widerspruch!
Oder falls das nicht geht (müßte aber, wenn ich nicht irre), dann müßtest du's evtl. mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Beweis [/mm] versuchen:
Dabei müßte man das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (und auch das [mm] $\delta [/mm] > 0$) vermutlich dann auch aus [mm] $\IQ$ [/mm] voraussetzen (finden), denn mehr als [mm] $\IQ$ [/mm] würden wir ja noch nicht kennen!
Um das ganze jetzt zu umgehen, argumentiere ich mit meinem Wissen über [mm] $\IR$. [/mm] Ich nehme mir einfach mal das Recht heraus, das zu dürfen, aber ein Beweis ist das hier nicht, wenn man nur [mm] $\IQ$ [/mm] kennt. Wenn man nur [mm] $\IQ$ [/mm] kennt, dann müßte der Beweis mit 1.) und 2.) durchgeführt werden und man müßte etwas an der Definition von Konvergenz/Cauchyfolgen ändern:
Wenn gilt:
Für alle [mm] $\varepsilon \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt: es existiert ein ...
dann heißt die Folge ... konvergent gegen ... .
Analoges für Cauchyfolgen...
Denn dort kannst du ja gar kein [mm] $\varepsilon \in \IR_{>0}$ [/mm] nehmen, da du ja nur [mm] $\IQ$ [/mm] kennst und noch gar nicht weißt, was [mm] $\IR$ [/mm] eigentlich ist. ]
So, viel geredet, durch mein ständiges Wechseln zwischen: Hier nehmen wir an, wir kennen [mm] $\IR$ [/mm] nicht und: hier argumentiere ich, weil ich [mm] $\IR$ [/mm] kenne, habe ich wahrscheinlich für Verwirrung gesorgt, ich hoffe, du bist jetzt nicht total verwirrt ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") und Banane ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]") ...
Was ich jedenfalls als Resultat liefern wollte:
Es gibt in [mm] $\IQ$ [/mm] also Cauchyfolgen, die in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht konvergieren.
(Eine solche habe ich oben hingeschrieben:
[mm] $a_0=3$, [/mm] $x=2$ und [mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}*\left(a_n+\frac{x}{a_n}\right)$)
[/mm]
Wenn man [mm] $\IQ$ [/mm] so erweitert (die Abbildungen $+$ und $*$ sollen dann entsprechend fortgesetzt werden), dass jede Cauchyfolge konvergiert, dann erhalten wir [mm] $\IR$ [/mm] (man muss auch stets die Metrik im Auge haben, aber das ist jetzt egal. Wir denken halt immer, dass der Abstand zweier Punkte $x,y [mm] \in \IQ$ [/mm] so berechnet wird: $|x-y|$.)
(Wie das Erweitern genau geht, das sei jetzt mal dahingestellt.)
Das ganze ist jetzt etwas salopp formuliert und da müßte man gewisse Stellen noch ausfeilen. Aber egal...
Eine andere Möglichkeit, so habe ich das eigentlich bei uns an der Uni gelernt, ist die Konstruktion von [mm] $\IR$ [/mm] über die Dedekind'sche Schnitte. Dazu findest du etwas in dem oben angegebenen Skript!
Ich hoffe, es ist jetzt etwas klarer geworden.
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:17 Fr 12.11.2004 | | Autor: | BigFella |
noch ne Kleinigkeit zur Existenz der irrationalen Zahlen: Folgt ja auch aus einem schönen Abzählargument: Rationalezahlen gibt es eben nur abzählbar viele und reelle Zahlen eben mehr.. Naja ist schon spät desshlab verfalle ich nun entgegen meiner Natur nun nicht ins Philosophieren über die Unendlichkeiten Gute Nacht zusammen
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