rationale Nullstellen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 22.11.2007 | | Autor: | Elli1501 |
| Aufgabe | f(x)= [mm] 2x^7 [/mm] - [mm] 19x^6 +71x^5 -139x^4 +164x^3 [/mm] - 121x² +51x- 9
Man bestimme alle rationalen Nullstellen. |
ich glaub ich schäm mich jetzt schon für die Frage... naja...
also wir hatte diese Rechnung in der VL. als nächstes haben wir die abgeleitet:
f´(x)= [mm] 14x^6 [/mm] - [mm] 144x^5 +355x^4 [/mm] - [mm] 556x^3 [/mm] +492x² - 242x +51
soweit komm ich ja noch mit, aber der nächste Schritt war,den ggT der Funktion und deren Ableitung zu finden. Der war:
ggT(f,f´) = (x² - 4x +3)
(zum Quadrat???? ich kanns nich mehr lesen ... )
aber wie kommt man darauf?
als nächstes hieß es dann:
f(x) = (x²-4x+3)² [mm] (2x^3 [/mm] - 3x²+ 3x - 1)
= (x-1)(x-3)(2x-1) (x²-x+1)
Hoffe mir kann das jemand erklären...
Danke schonmal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f(x)= [mm]2x^7[/mm] - [mm]19x^6 +71x^5 -139x^4 +164x^3[/mm] - 121x² +51x- 9
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> Man bestimme alle rationalen Nullstellen.
> ich glaub ich schäm mich jetzt schon für die Frage...
> naja...
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> also wir hatte diese Rechnung in der VL. als nächstes haben
> wir die abgeleitet:
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> f´(x)= [mm]14x^6[/mm] - [mm]144x^5 +355x^4[/mm] - [mm]556x^3[/mm] +492x² - 242x +51
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> soweit komm ich ja noch mit, aber der nächste Schritt
> war,den ggT der Funktion und deren Ableitung zu finden. Der
> war:
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> ggT(f,f´) = (x² - 4x +3)
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> (zum Quadrat???? ich kanns nich mehr lesen ... )
> aber wie kommt man darauf?
Falls sich ein Polynom $f(x)$ in der Form [mm] $p^2(x)\cdot [/mm] q(x)$ schreiben lässt, so ist $p(x)$ ein gemeinsamer Teiler von $f(x)$ und $f'(x)$. - Weshalb? - Wende einfach einmal die Potenz-, Ketten- und Produktregel auf $f(x)$ bzw. dessen angenommene Faktorzerlegung [mm] $p^2(x)\cdot [/mm] q(x)$ an. Dann erhältst Du: [mm] $f'(x)=2p(x)p'(x)\cdot q(x)+p^2(x)\cdot q'(x)=p(x)\cdot\left[2p'(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot q'(x)\right]$. [/mm] Offenbar ist $p(x)$ also ein gemeinsamer Faktor von $f(x)$ und $f'(x)$, also im ggT von $f(x)$ und $f'(x)$ enthalten. Den so gefundenen quadratischen Faktor von $f(x)$ kannst Du durch Polynomdivision von $f(x)$ bereits einmal abspalten. Dann versuchst Du, die rationalen Nullstellen des verbleibenden Faktorpolynoms zu finden.
> als nächstes hieß es dann:
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> f(x) = (x²-4x+3)² [mm](2x^3[/mm] - 3x²+ 3x - 1)
> = (x-1)(x-3)(2x-1) (x²-x+1)
Schon mal gehört, dass die rationalen Lösungen einer algebraischen Gleichung der Form
[mm]a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0[/mm]
mit ganzzahligen Koeffizienten [mm] $a_n,\ldots, a_0$ [/mm] von der Form [mm] $x=\frac{p}{q}$ [/mm] sind, wobei $p$ ein ganzzahliger Teiler von [mm] $a_0$ [/mm] und $q$ ein natürlicher Teiler von [mm] $a_n$ [/mm] ist?
Falls nicht: nimm einfach einmal an, [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] sei eine rationale Lösung dieser algebraischen Gleichung (wobei $p$ und $q$ teilerfremd, d.h. der Bruch gekürzt, und [mm] $q\geq [/mm] 1$ sein soll). Setze dies für $x$ in die Gleichung ein und multipliziere die ganze Gleichung mit [mm] $q^n$. [/mm] Ergibt:
[mm]a_n p^n +a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0[/mm]
Also gilt einerseits
[mm]a_n p^n=q\cdot (-a_{n-1}p^{n-1}-\cdots-a_1p q^{n-2}-a_0q^{n-1})[/mm]
(woraus wegen der Teilerfremdheit von $p$ und $q$ folgt, dass $q$ ein Teiler von [mm] $a_n$ [/mm] sein muss)
und andererseits gilt auch
[mm]a_0q^n=p\cdot(-a_np^{n-1}-a_{n-1}p^{n-2}q-\cdots-a_1 q^{n-1})[/mm]
(woraus, wieder wegen der Teilerfremdheit von $p$ und $q$, folgt, dass $p$ ein Teiler von [mm] $a_0$ [/mm] sein muss).
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