rang darst. matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, wenn ich eine abb f habe und dazu verschieden darst. matritzen. Die haben doch alle den selben Rang oder? Kann man das irgendwie beweisen, ich komme gerade leider nicht drauf :(
Danke und gruß... Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mi 17.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
ja, die  Transformationsformel besagt, dass es invertierbare Matrizen gibt, die man auf beiden Seiten ranmultipliziert - so führt man die Darstellungsmatrizen in einander über.
invertierbare Matrizen haben vollen Rang und ändern den Rang innerhalb eines Produktes nicht.
Entweder beweist man dies direkt oder man geht über die entspr. Abbildungen, denn jede invertierbare Matrix stellt ja eine bijektive lineare Abbildung dar und deshalb lässt sie die dimension des Kerns bei Verknüpfung unberührt...
Also vielleicht hast du das ja schon in der Vorlesung oder so gehabt, deshalb gehe ich mal nicht weiter auf speziellere Argumente ein, die man sich evtl. zusammen suchen muss, wenn man diese Hilfssätze beweisen will.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
kann man dsa auch so begründen:
jede darst. matrix A von [mm] f:V\to [/mm] W
bildet in den [mm] K^m [/mm] wobei m=dim W ist ab.
da dim(A)=dim Bild(A)=dim [mm] k^m=m, [/mm] hat jede darst. matrix die selbe dim
danke und gruß ARI
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mi 17.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
aehm - ich sehe keine Begruendung - die letzte Zeile ist eigentlich genau das, was du zeigen willst.
Ich denke, was du da versuchst hast wuerde in Worten so lauten:
"Weil jede Darstellungsmatrix das Bild ja nicht (bis auf Isomorphie) veraendert, haben alle denselben Rang."
Aber das ist nur eine Umschreibung dessen, was du beweisen willst.
Du musst halt zeigen, dass alle Darstellungsmatrizen dasselbe Bild haben.
viele Gruesse
DaMenge
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:14 Mi 17.05.2006 | | Autor: | AriR |
hmm stimmt..
aber ich habe mit gerade überlegt, dass sie das ja noch konstruktion tun..
man hat diese ja so konstruiert, dass sie immer auf den [mm] \IR^n [/mm] abbilden. wobei n die dim des Bildes von f ist, da ja zB die 1 komponente des tupels angibt mit was man den 1. basisvektor von bild(f) multiplizieren muss etc.
weißt du ca was ich meine?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Mi 17.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
> weißt du ca was ich meine?
leider kann ich dir nicht ganz folgen - ich denke du verwechselst auch leicht Dimension des Bildraumes und dimension des Bildes - also die Abbildung muss ja nicht bijektiv sein...
Versuch es doch mal sauber aufzuschreiben - wenn es dir nicht gelingt, nimm einen der beiden Ansätze, die ich in der ersten Antwort geschrieben habe.
(also entweder direkt mit invertierbaren Matrizen oder mit den entspr. bijektiven Abbildungen...)
Ich denke ämlich du meinst letztere Möglichkeit, also wenn dim(bild(f))=k , dann ist auch dim(bild(f°g))=k wenn g die Bijektion des Basiswechsels ist...
viee Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 20.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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