quadratische Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 So 20.11.2005 | | Autor: | roxy |
Halle Leute,
hab folgende Aufgabe:
"Beweisen Sie die quadratische Konvergenz [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} \le \bruch{1}{4a_{0}}(b_{n}-a_{n})^{2}. [/mm] (Diese Abschätztung bedeutet, dass [mm] b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}\le Ck^{2}^{n} [/mm] (ist 2 hoch n!!) ist mit gewissen Konstanten 0 < k <1, C>0, und daher schneller klein wird als jede Exponentialfolge.)"
bisher habe ich gezeigt, dass beginnend mit 0 < [mm] a_{0} [/mm] < [mm] b_{0}, [/mm] gilt: [mm] b_{n}-a_{n} \le 2^{-n}(b_{0}-a_{0}), n\in\IN, [/mm] wobei [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] (aritm. Mittel) und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{2ab}{a+b} [/mm] (harm. Mittel). (d.h. [mm] a_{n+1} \le b_{n+1}).
[/mm]
was muss ich weiter machen? kann mir jemand weiterhelfen?
vielen Dank!
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Durch einfaches Einsetzen und der Tatsache, dass [mm] a_{n}
[mm] b_{n+1}-a_{n+1}=\bruch{(b_{n}-a_{n})^2}{2(a_{n}+b_{n})} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4a_{n}}(b_{n}-a_{n})^2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{4a_{0}}(b_{n}-a_{n})^2 [/mm] q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 20.11.2005 | | Autor: | roxy |
danke für deine hilfe...hab wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen...
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