quadratische Funktionen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Swimmingpool der Länge 30m und der breite 20 m soll von einem Weg der Breite x umgeben werden.
a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Fläche des Weges in Abhängigkeit zur Breite x berechnen kann.
b) Gib an, für welche x dieser Ausdruck sinnvoll ist.
c) berechne die Breite des Weges, wenn dessen Fläche 360 qm beträgt.
d) Fasse deinen Term als Funktion für alle x auf und bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt. |
Hallo ! :)
•Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich weiß leider gar nicht, wie ich auf den Term kommen soll, deswegen ist c) für mich sehr schwierig.
Aufgabe b) verstehe ich leider gar nicht, da ich nicht genau verstehe, was mit "Ausdruck" gemeint ist. :(
VLG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !
Hast du dir keine Zeichnung gemacht? Wir haben einen Pool mit einer
Länge von [mm] $30\$ [/mm] und einer Breite von [mm] $20\$ [/mm] Metern. Um den Pool soll ein Weg
gebaut werden, der die Breite [mm] $x\$ [/mm] hat.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Kommen wir nun zu deinen Aufgaben:
> a) Stelle einen Term auf, mit dem man die Fläche des Weges in Abhängigkeit zur Breite x berechnen kann.
Du hast hier die Breite [mm] $x\$ [/mm] gegeben und sollst die Fläche des
Weges berechnen. Beachte, dass der Weg immer die gleiche Brei-
te [mm] $x\$ [/mm] haben soll und benutze die Eigenschaften (Längen) des Pools.
Wir wollen also im Bild oben die rote Fläche berechnen.
> b) Gib an, für welche x dieser Ausdruck sinnvoll ist.
Hiermit ist gemeint, dass der Ausdruck oben nicht für alle [mm] $x\$
[/mm]
sinnvoll sein kann. Allgemein kannst du zum Beispiel sagen,
dass die Breite des Weges nicht negativ sein kann. Alles klar? 
> c) berechne die Breite des Weges, wenn dessen Fläche 360 qm beträgt.
Hier haben wir die Fläche des Weges gegeben und müssen die Breite
berechnen. Das machen wir mit unserer Formel aus a).
> d) Fasse deinen Term als Funktion für alle x auf und bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt.
Das machen wir am Ende.
Gruß
DieAcht
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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erstmal vielen Dank !
was wäre denn mit dem Term Breite = x*60 + x*40 ?
Kann der stimmen ? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> was wäre denn mit dem Term Breite = x*60 + x*40 ?
> Kann der stimmen ? :)
Fast. Du hast die vier Ecken vergessen.
Zusammenfassen kannst du dann natürlich auch.
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hmmm, stimmt... aber wie könnte man die mit einbeziehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> hmmm, stimmt... aber wie könnte man die mit einbeziehen?
Die Fläche der vier Ecken müssen wir dazuaddieren.
Tipp: Jede Ecke ist ein Quadrat.
Am Ende kannst du natürlich noch zusammenfassen.
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okay, danke.
und würde dann der Term
A(ges) = [mm] 2(40x+60x)+4x^2 [/mm] stimmen ? (:
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uuuups, ich habe mich verschrieben
ich meine A(ges)= [mm] 2(20x+30x)+4x^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Ich kopiere aus deiner Mitteilung:
> ich meine A(ges)= [mm] 2(20x+30x)+4x^2.
[/mm]
Ja, das ist richtig, aber ich empfehle weiter zusammen zu fassen:
[mm] A=4x^2+100x=4x(x+25).
[/mm]
Beachte:, dass folgendes gilt:
[mm] $20x+30x=x(20+30)=50x\$.
[/mm]
Was ist mit den anderen Teilaufgaben? Stelle am Besten deine
Lösungen hier rein, sodass wir diese kontrollieren können.
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okay, danke. dann steht jetzt ja aufgabe a).
bei b) würde ich schreiben:
Dieser Ausdruck wäre für alle x größer 0 sinnvoll.
Kann das stimmen ? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> okay, danke. dann steht jetzt ja aufgabe a).
> bei b) würde ich schreiben:
> Dieser Ausdruck wäre für alle x größer 0 sinnvoll.
>
> Kann das stimmen ? :)
Fast. Der Ausdruck ist nämlich auch sinnvoll, wenn die Breite des
Weges Null ist. Wenn die Breite des Weges Null ist, dann müsste
auch seine Fläche Null sein. Das ist hier auch der Fall. Für die
gesamte Aufgabe ist es aber natürlich irrelevant, denn wir wollen
einen Weg um den Pool bauen. 
Weiter geht's.
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jetzt würde ich
360 = [mm] 4x^2 [/mm] + 100x
rechnen.
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> jetzt würde ich
> 360 = [mm]4x^2[/mm] + 100x
> rechnen.
> :)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber sagen wir lieber: Wir betrachten die Gleichung
[mm] $360=4x^2+100x\$
[/mm]
und lösen sie...
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okaaaay :D
meine weitere Betrachtung:
[mm] 360=4x^2+100x [/mm] -360
[mm] 0=4x^2+100x-360 [/mm] :4
[mm] 0=x^2+25x-90
[/mm]
dann weiss ich aber nicht weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> okaaaay :D
> meine weitere Betrachtung:
> [mm]360=4x^2+100x[/mm] -360
> [mm]0=4x^2+100x-360[/mm] :4
> [mm]0=x^2+25x-90[/mm]
>
> dann weiss ich aber nicht weiter :(
Das ist eine quadratische Gleichung. Weiter geht es mit der p-q-
Formel/ quadratische Ergänzung/ Mitternachtsformel. Such es dir
aus.
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also ich habe es mit der pq formel gemacht.
p=25; q=-90
x1,2 = -25/2 +- Wurzel aus [mm] (25/2)^2 [/mm] + 90
x1,2= -12,5 +- Wurzel aus 246,25
x1 = -12,5 + 15,7 = 3,2
x2= -12,5-15,7=-28,2
dann würde ich also x1 sagen ;)
360=4*3,2+100*3,2
es sind zwar minimale Abweichungen im Taschenrechner aber die sind dann ja rundungsbedingt ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> also ich habe es mit der pq formel gemacht.
> p=25; q=-90
>
> x1,2 = -25/2 +- Wurzel aus [mm](25/2)^2[/mm] + 90
Du kannst das auch schöner aufschreiben:
[mm] x_{1/2}=-\frac{25}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{25}{2}\right)^2+90}.
[/mm]
Gehe mit der Maustaste drüber, dann kannst du dir angucken wie
man so etwas schreibt. Du kannst natürlich auch einfach darauf
klicken.
> x1,2= -12,5 +- Wurzel aus 246,25
> x1 = -12,5 + 15,7 = 3,2
> x2= -12,5-15,7=-28,2
>
> dann würde ich also x1 sagen ;)
>
> 360=4*3,2+100*3,2
>
> es sind zwar minimale Abweichungen im Taschenrechner aber
> die sind dann ja rundungsbedingt ;)
Ich würde dir vom Runden abraten. Es gilt:
[mm] x_{1/2}=-\frac{25}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{25}{2}\right)^2+90}=-\frac{25}{2}\pm\frac{\sqrt{985}}{2}.
[/mm]
Das könnte man noch zusammenfassen, aber eigentlich reicht das.
Wenn du rundest, dann benutze auch bitte das [mm] \approx [/mm] - Zeichen.
Deine Resultate stimmen aber.
Weiter geht's.
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jetzt soll man ja den Term als Funktion für alle x auffassen.
heißt dass, dass ich es in ein Koordinatensystem einzeichnen soll? Sonst wüsste ich nicht,was ich machen soll :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> jetzt soll man ja den Term als Funktion für alle x auffassen.
Ja, aber eigentlich haben wir das schon.
> heißt dass, dass ich es in ein Koordinatensystem einzeichnen soll?
Nein, wie kommst du dadrauf? Die Aufgabe lautet:
> d) Fasse deinen Term als Funktion für alle x auf und bestimme Nullstellen und Scheitelpunkt.
Wir haben in der ersten Teilaufgabe bereits einen Ausdruck für
das Bestimmen der Fläche des Weges hergeleitet. Wir haben
[mm] $A=4x^2+100x=4x(x+25)\$.
[/mm]
Beachte, dass die Fläche [mm] $A\$ [/mm] nur in Abhängigkeit von [mm] $x\$ [/mm] steht,
sodass wir wir auch
[mm] $A_x=4x(x+25)\$
[/mm]
schreiben könnte. Als richtige Funktion geht dann natürlich auch
[mm] $A(x)=4x(x+25)\$.
[/mm]
Wir können natürlich auch
[mm] $f(x)=4x(x+25)\$
[/mm]
schreiben, aber mnemonisch passt [mm] $A\$ [/mm] natürlich weiterhin.
Jetzt bist du wieder dran mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt.
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Ich hätte dann als Nullstellen N1 (3,2/0) ; N2 (-28,7/0)
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich hätte dann als Nullstellen N1 (3,2/0) ; N2 (-28,7/0)
> :)
Das ist falsch. Das bezieht sich auf die dritte Teilaufgabe. Dort
ging es um die Lösung der Gleichung
[mm] $A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)\overset{!}{=}360\$.
[/mm]
Wir haben dann
[mm] $4x^2+100x-360\$
[/mm]
betrachtet.
Außerdem gibt man die Nullstellen nicht so an, wie du es gemacht
hast. Das sind Nullstellen und der y-Wert ist hoffentlich immer
Null. Zur Probe kannst du das natürlich machen, aber ansonsten
macht das keinen Sinn. Wenn [mm] $g\$ [/mm] eine Funktion ist und [mm] $x_1\$ [/mm] und
[mm] $x_2\$ [/mm] die Nullstellen von [mm] $g\$, [/mm] dann ist klar, dass
[mm] $g(x_1)=g(x_2)=0\$
[/mm]
gilt, denn das ist der Sinn und Zweck der Definition einer Nullstelle.
Hier betrachten wir "nur"
[mm] $A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)
[/mm]
und betrachten zur Ermittlung der Nullstellen
[mm] $A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)\overset{!}{=}0\$.
[/mm]
Dann noch den Scheitelpunkt und wir haben es geschafft.
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hmmm, das mit den Nullstellen hab ich nucht verstanden :((
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also den Scheitelpunkt habe ich jetzt schon ermittelt:
S(-12,5/-246,25)
laut meines GTR stimmt das, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> also den Scheitelpunkt habe ich jetzt schon ermittelt:
> S(-12,5/-246,25)
> laut meines GTR stimmt das, oder ?
Nein, auch hier hast du nicht die richtige Funktion genommen!
Berechne den Scheitelpunkt der Funktion
[mm] $A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)$.
[/mm]
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wenn ich von [mm] A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)=0
[/mm]
will, muss ich doch das mit der quadratischen Ergänzung machen, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> wenn ich von [mm]A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)=0[/mm]
> will, muss ich doch das mit der quadratischen Ergänzung
> machen, oder ?
Ich habe mit Absicht beide äquivalente Ausdrücke
[mm] $4x^2+100x\$
[/mm]
und
[mm] $4x(x+25)\$
[/mm]
beibehalten, denn bei
[mm] $4x^2+100x\red{+0}\$
[/mm]
kann man natürlich mit quadratischer Ergänzung, etc.. arbeiten,
aber dieser Ausdruck ist zum Ablesen des Scheitelpunktes perfekt.
Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion
[mm] $f(x)=ax^2+bx+c\$ [/mm] mit [mm] $a\not=0\$
[/mm]
ist gegeben durch
[mm] S\left(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a}\right).
[/mm]
Ansonsten kannst du natürlich auf
[mm] f(x)=a(x-d)^2+e
[/mm]
kommen, sodass der Scheitelpunkt mit
[mm] $S(d\mid e)\$
[/mm]
gegeben ist.
Die Nullstellen können wir doch direkt an
[mm] $4x(x+25)\$
[/mm]
ablesen. Ein Produkt ist Null, falls eines der Faktoren Null ist.
In diesem Fall sollte man(!) auch am ersten Ausdruck
[mm] $4x^2+100x\$
[/mm]
mindestens die offensichtliche Nullstelle sofort angeben können...
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Okay, danke !
Wäre dann der Scheitelpunkt S ( -12,5/-625)?
Und die Nullstelle 25?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wäre dann der Scheitelpunkt S ( -12,5/-625)?
> Und die Nullstelle 25?
Nein. Arbeite genauer! [mm] $A\$ [/mm] hat übrigens zwei Nullstellen.
edit zu deiner Mitteilung:
> ich meine -25 :)
Ja, [mm] $-25\$ [/mm] ist eine Nullstelle. Was ist die zweite Nullstelle?
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die 2. Nullstelle wäre dann doch 0...., oder ?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> die 2. Nullstelle wäre dann doch 0...., oder ?:)
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Sooo, dann ist die aufgabe ja , auch nach laaaaanger zeit, endlich fertig.
Gaaaaaaaanz herzlichen Dank dafür !!! :)
Alleine hätte ich es wenn überhaupt nur mit gaaanz, gaaaanz vielen Fehlern geschafft, aber jetzt habe ich es sogar, dank wirklich guten Erklärungen, verstanden!:)
Viele Liebe Grüße, und Danke nochmals,
von maaaaaaaathe31 :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Sooo, dann ist die aufgabe ja , auch nach laaaaanger zeit,
> endlich fertig.
Das war keine lange Zeit.
> Gaaaaaaaanz herzlichen Dank dafür !!! :)
> Alleine hätte ich es wenn überhaupt nur mit gaaanz,
> gaaaanz vielen Fehlern geschafft, aber jetzt habe ich es
> sogar, dank wirklich guten Erklärungen, verstanden!:)
> Viele Liebe Grüße, und Danke nochmals,
> von maaaaaaaathe31 :)
Gern geschehen. Wenn du hier etwas nicht verstehst, dann probiere
dein Problem genauer zu beschreiben. Gib dir am Besten auch ein
bisschen mehr Zeit für deine Fragen. Du sollst immerhin selbst
auf die Lösung kommen und nicht nach jedem Schritt nachfragen.
Übrigens: Danksagungen sollten als Mitteilung geschrieben werden,
denn eine richtige Frage ist es immerhin nicht mehr. Aber das ist
kein Problem: Ich beantworte die Frage als Mitteilung und alles
ist gut.
Viel Spaß noch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> hmmm, das mit den Nullstellen hab ich nucht verstanden :((
Okay, wir machen ein Beispiel:
Berechne die Nullstellen der Funktion
[mm] $g(x)=x^2-4\$.
[/mm]
Lösung:
[mm] $g(x)=x^2-4\overset{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x^2=4$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\pm\sqrt{4}=\pm [/mm] 2$.
Alternativ (dritte binomische Formel):
[mm] $g(x)=x^2-4=(x+2)*(x-2)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\pm [/mm] 2$.
Die Probe
[mm] g(x_1)=g(2)=2^2-4=0
[/mm]
und
[mm] $g(x_2)=g(-2)=(-2)^2-4=0$
[/mm]
funktioniert. Die Nullstellen der Funktion [mm] $g\$ [/mm] geben wir mit
[mm] $x_{1/2}=\pm 2\$
[/mm]
oder von mir aus auch mit
[mm] $x_1=2\$ [/mm] oder [mm] $x_2=-2\$
[/mm]
an. Du hast die Nullstellen nicht so angeben. Darüber hinaus
war dein Ansatz ehe falsch, denn es geht um die Funktion
[mm] A(x)=4x^2+100x=4x(x+25).
[/mm]
Berechne also die Nullstellen von [mm] $A\$, [/mm] indem du die Gleichung
[mm] A(x)=4x^2+100x=4x(x+25)\overset{!}{=}0
[/mm]
löst.
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aber bei meiner Aufgabe ist es ja so , dass ich einen [mm] x^2 [/mm] wert und einen x wert habe. wie geht das dann, weil im Beispiel ja ein [mm] x^2 [/mm] wert und ein "normaler" sind ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Sa 04.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
> aber bei meiner Aufgabe ist es ja so , dass ich einen [mm]x^2[/mm]
> wert und einen x wert habe. wie geht das dann, weil im
> Beispiel ja ein [mm]x^2[/mm] wert und ein "normaler" sind ?
Du kannst doch ausklammern, aber dazu habe ich in meiner anderen
Antwort etwas mehr geschrieben.
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Hallo,
Aufgabe b) habe ich mittlerweile verstanden/gelöst.
meine Frage ist nun nurnoch zu a) :
wie kann ich aus meiner Skizze einen Term aufstellen ?
ich weiss , dass der Term die Breite x und auch Länge und Breite des Pools enthalten sollte, aber eben nicht, wie ich das ganze mathematisch ausdrücken könnte :DD
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