quadratische Form? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 28.02.2013 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Für welche positiv ganzzahligen $a$ und primzahlen $p,q$ und wird der Ausdruck
[mm] $(pq-a)^2-pq$ [/mm] ein vollständiges quadrat |
d.h.
Finde positiv-ganzzahlige Lösungen für $p,q,a,n$
[mm] $(pq-a)^2-pq=n^2$
[/mm]
Leider ist mein Wissen über quadratische Formen sehr beschränkt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Do 28.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für welche positiv ganzzahligen [mm]a[/mm] und primzahlen [mm]p,q[/mm] und
> wird der Ausdruck
> [mm](pq-a)^2-pq[/mm] ein vollständiges quadrat
>
> d.h.
> Finde positiv-ganzzahlige Lösungen für [mm]p,q,a,n[/mm]
> [mm](pq-a)^2-pq=n^2[/mm]
Es gilt [mm] $A^2 [/mm] - (2 (A - 1) + 1) = (A - [mm] 1)^2$,
[/mm]
[mm] $A^2 [/mm] - (2 (2 A - 3) + 2) = (A - [mm] 2)^2$,
[/mm]
[mm] $A^2 [/mm] - (2 (3 A - 6) + 3) = (A - [mm] 3)^2$,
[/mm]
[mm] $A^2 [/mm] - (2 (4 A - 10) + 4) = (A - [mm] 4)^2$,
[/mm]
...
[mm] $A^2 [/mm] - (2 (k A - [mm] \tfrac{k (k + 1)}{2}) [/mm] + k) = (A - [mm] k)^2$.
[/mm]
Damit $(p q - [mm] a)^2 [/mm] - p q$ also ein Quadrat ist, muss $p q = 2 (k (p q - a) - [mm] \tfrac{k (k + 1)}{2}) [/mm] + k$ sein fuer ein $k [mm] \in \IN$. [/mm] Weiterhin sollte $k [mm] \le [/mm] A$ sein, damit das ganze nicht negativ werden kann.
Nun ist $p q = 2 k p q - 2 k a - [mm] k^2 [/mm] - k + k = k (2 p q - 2 a - k)$ sein, also $(2 k - 1) p q = k (2 a + k)$ mit $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] p q$.
Damit kommst du jetzt vielleicht weiter (schliesslich sind $p$ und $q$ prim).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Do 28.02.2013 | | Autor: | wauwau |
Super Felix!
denn aus $p, q$ Primzahl kann man schon auf $k=1,k=p,k=q$ oder $k=pq$ schließen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 28.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> denn aus [mm]p, q[/mm] Primzahl kann man schon auf [mm]k=1,k=p,k=q[/mm] oder
> [mm]k=pq[/mm] schließen!
Stimmt, schliesslich sind $2k-1$ und $k$ immer teilerfremd. Also hat man vier Faelle:
a) $k = 1$: dann ist $a = [mm] \frac{p q - 1}{2}$ [/mm] und $(p q - [mm] a)^2 [/mm] - p q = (p q - [mm] 1)^2$;
[/mm]
b) $k = p$: dann ist $a = p q - [mm] \frac{p + q}{2}$ [/mm] und $(p q - [mm] a)^2 [/mm] - p q = (p q - [mm] p)^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] (q - [mm] 1)^2$;
[/mm]
c) $k = q$: dann ist $a = p q - [mm] \frac{p + q}{2}$ [/mm] und $(p q - [mm] a)^2 [/mm] - p q = (p q - [mm] q)^2 [/mm] = (p - [mm] 1)^2 q^2$;
[/mm]
d) $k = p q$: dann ist $a = [mm] \frac{p q - 1}{2}$ [/mm] und $(p q - [mm] a)^2 [/mm] - p q = (p q - p [mm] q)^2 [/mm] = 0$.
In den Faellen b) und c) muss $p + q$ gerade sein (also entweder $p = q = 2$ oder $p [mm] \neq [/mm] 2 [mm] \neq [/mm] q$), und in den Faellen a) und d) muessen $p$ und $q$ beide ungerade sein, also $p [mm] \neq [/mm] 2 [mm] \neq [/mm] q$.
LG Felix
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