quadr. diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es geht um die Äquivalenz folgender Formen:
[mm] $aX^2+bY^2+cZ^2=0\qquad [/mm] (1)$
$a,b,c$ paarweise Teilerfremd, nicht alle positiv oder negativ und quadratfrei.
Besitzt ganzzahlige nichttriv. Lösung, falls gilt:
[mm] $)a)\; [/mm] -bc$ quadr. modulo a
[mm] $b)\; [/mm] -ac$ quadr. modulo b
[mm] $c)\; [/mm] -ab$ quadr. modulo c
[mm] $\Leftrightarrow$
[/mm]
[mm] $aX^2+bY^2=Z^2\qquad [/mm] (2)$
$a,b$ quadratrei und positiv.
Besitzt ganzzahl. nichttriv. Lösungen, falls gilt:
[mm] $a')\; [/mm] b$ quadr. modulo a
[mm] $b')\; [/mm] a$ quadr. modulo b
[mm] $c')\; -(ab/d^2)$ [/mm] quadr. modulo d mit [mm] $d=\mbox{ ggT}(a,b)$ [/mm] |
Guten Tag,
ich beschäftige mich derzeit mit der Lösbarkeit der oben angeschriebenen Gleichung und habe leider ein paar Verständnis Probleme.
Meine erste Frage:
Wie komme ich auf die Bedingungen $a),b),c)$?
Betrachte ich zum beispiel a), würde ich daraus ja erhalten mit (1) über modulo c:
[mm] $aX^2+bY^2\equiv 0\pmod [/mm] c$
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] (durch a)) [mm] $aX^2-ab^2\equiv 0\pmod [/mm] c$
Aber wie bringt mich das bezüglich der Lösbarkeit weiter?
Außerdem frage ich mich, wie man die Äquivalenz der oben stehenden Formen zeigen soll.
Ich würde mich sehr über Tipps freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 20.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Aufgabe | Seien [mm] $a,b,c\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$, [/mm] paarweise Teilerfremd und quadratfrei.
Außerdem haben wir $a':=-ac, b':=-bc,c':=c$.
Es wir angenommen, dass gilt: (i)$-ab$ ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{c}$,(ii)$-bc$ [/mm] ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{a}$ [/mm] und (iii)$-ac$ ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{b}$.
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass gilt: (a)$a'$ ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{b'},(b) [/mm] $b'$ ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{a'} [/mm] und [mm] (c)$-\frac{a'b'}{c'^2}$ [/mm] ist quadratischer Rest [mm] $\pmod{b'}$ [/mm] |
Also ich habe mir folgendes überlegt:
Es gilt ja: [mm] $-ab=-\frac{a'b'}{c'^2}, a=-\frac{a''}{c'}, b=-\frac{b''}{c'}$
[/mm]
Somit gilt nach (i): [mm] $-\frac{a'b'}{c'^2}$ [/mm] quadratischer Rest [mm] $\pmod{c'}$
[/mm]
Also folgt hier direkt (a).
Aus (ii) folgt: $a'$ quadratischer Rest [mm] $\pmod{-\frac{b'}{c'}}$
[/mm]
Hier liegt nun mein Problem. kann ich hier einfach folgern $a'$ quadratischer Rest [mm] $\pmod{\frac{b''}}$?
[/mm]
Ich habe ja hier gegeben, dass [mm] x,k$\in\mathbb{Z}$ [/mm] existieren mit [mm] $x^2=-k\frac{b'}{c'}+a''$. [/mm]
Wenn ich nun [mm] $k':=-\frac{k}{c'}$ [/mm] setze würde ich ja erhalten, dass
[mm] $x^2=k'b'+a'$ [/mm] gilt und somit $a'$quadratischer Rest modulo $b'$ ist.
Aber woher weiß ich nun, dass [mm] $k':=-\frac{k}{c'}\in\mathbb{Z}$ [/mm] liegt?
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Vielen Dank schonmal
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 23.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo DudiPupan,
ich habe Deine Frage mal an die ursprüngliche Aufgabe angehängt, auch wenn Du da keine Antwort bekommen hast. So ist sie besser verständlich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 24.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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