pyramide(ebene, normalvektor) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Di 18.01.2005 | | Autor: | essig |
hallo,
ich habe eine ebene gegeben 9x-2y+6z=13 in der eine dreiseitige pyramide liegt. ebenfalls gegeben sind 2 geraden. 2 eckpunkte konnte ich schon berechnen, auch die spitze. jetzt fehlt mir der dritte eckpunkt. ich glaube ich sollte eine gerade aufstellen mit dem normalvektor der ebene. wie bekomme ich diesen?
danach muss ich Grundfläche und Volumen berechnen?
Wie komme ich auf die Höhe?
lg,
essi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Also ich verstehe Dein Problem nicht so ganz:
Du hast die Ebene in Koordinatenfor ja bereits gegeben.
Der Normalenvektor der Ebene lautet also: [mm] \vec{n}= \vektor{9 \\ -2 \\ 6}.
[/mm]
(dies sind die Vorfaktoren vor x, y, z in der Ebenengleichung)
Nun aber zu dem, was ich nicht so ganz verstehe:
- ist es eine "einfache" dreiseitige Pyramide oder ist diese gleichmäßig?
- liegt die Grundfläche in der Eben?
- liegen die 2 Geraden auch in der Ebene?
Kannst Du mir bitte die ganzen Angaben geben, sonst kann ich mir nichts genaues darunter vorstellen!
Helfe Dir dann gerne weiter!
VlG
Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:35 Mi 19.01.2005 | | Autor: | essig |
Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide liegt in der Ebene E: 9x – 2y + 6z = 13. Die Gleichungen der Trägergeraden zweier Seitenkanten lauten g: X = (–8/9/–3) + s•(9/–5/5) und
h: X = (0/9/–15) + t•(5/–5/11), die dritte Seitenkante steht auf der Basisebene normal.
(1) Wie lauten die Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide?
(2) Bestimme den Flächeninhalt der Grundfläche und das Volumen der Pyramide!
--- das ist meine Angabe!
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Du hast die Spitze schon berechnet, wahrscheinlich als Schnittpunkt der beiden gegebenen Seitenkanten. Die dritte Seitenkante muss ja ebenfalls durch diese Spitze gehen, und hat als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene, da sie ja senkrecht auf die Ebene steht (dass man den Normalenvektor aus der Koordinatengleichung einfach ablesen kann, hat dir ja adonis1981 schon erklärt).
Jetzt kannst du ja die Geradengleichung aufstellen, und sie mit der Bodenebene schneiden, das ergibt den letzten Eckpunkt der Pyramide.
Für die Grundfläche kommt es darauf an, welche Methoden du schon kennengelernt hast. Die Grundfläche ist ja ein Dreieck. Den Flächeninhalt eines Dreiecks im [mm]\IR^3[/mm] kann man leicht mit Hilfe des Kreuzproduktes (auch Vektorprodukt genannt) berechnen. Hattet ihr diese Möglichkeit schon?
Falls nicht, dann wäre ein angenehm zu rechnender Fall der, dass dieses Dreieck rechtwinklig wäre. Das müsstest du nachrechnen. Weißt du, wie man den Flächeninhalt von rechtwinkligen Dreiecken einfach berechnen kann?
Zuletzt dann noch das Problem mit der Höhe. Die Höhe ist der senkrechte Abstand der Spitze von der Bodenebene.
Hier haben wir den einfachen Fall, dass die dritte Seitenkante ja schon senkrecht auf die Bodenebene steht. Also ist die Höhe = die Länge der Seitenkante. Kommst du jetzt drauf, wie man das dann berechnet?
Hätte man hier nicht den praktischen senkrechten Fall der dritten Seitenkante, dann müsste man zu anderen Tricks greifen. Entweder erstellt man sich "künstlich" eine solche Senkrechte (also eine zur Bodenebene senkrechte Hilfsgerade), oder man verwendet die Hesse-Normalen-Form - falls man die schon hatte.
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