punktweiser Grenzwert < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Do 11.04.2013 | | Autor: | ralfr |
| Aufgabe | für $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist [mm] $f_n(x)=\frac{nx}{1+nx}$
[/mm]
Berechnen Sie den Punktweisen Grenzwert [mm] $f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$
[/mm]
Zeigen Sie außerdem, dass für $a>0$ [mm] $(f_n)_{n\in N}$ [/mm] auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] gleichmäßig gegen f |
Hallo ich hätte jetzt für den 1. Teil gesagt, dass der Punktweise Grenzwert 1 ist.
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{nx}{n(\frac{1}{n}+x)}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x}{(\frac{1}{n}+x)}=1$
[/mm]
Ist das der richtige Weg?
Aber wie beweise ich jetzt, dass es gleichmäßig Konvergiert für $a>0$?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Fr 12.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst ein [mm] N(\epsilon) [/mm] finden, sodass für alle x aus dem Intervall
[mm] abs(f_n-1)<\epslon [/mm] für n>N mit [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig-
das sollte nich zu schwer sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Fr 12.04.2013 | | Autor: | ralfr |
Also dann hätte ich ja :
[mm] $\frac{1}{1+nx} [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
[mm] $\frac{1-\epsilon}{\epsilon *x} [/mm] < N $
Reicht das schon?
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Hallo,
zunächst: Die Grenzfunktion ist
$f(x) = [mm] \begin{cases}1, \quad x \not= 0\\
0, \quad x = 0\end{cases}$
[/mm]
Du musst den Fall x = 0 gesondert betrachten!
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Für den Bereich [a, [mm] \infty), [/mm] auf dem du die Funktionenfolge auf glm. Konvergenzuntersuchen sollst, ist die Grenzfunktion damit aber trotzdem konstant 1.
> Also dann hätte ich ja :
> [mm]\frac{1}{1+nx} < \epsilon[/mm]
> [mm]\frac{1-\epsilon}{\epsilon *x} < N[/mm]
>
> Reicht das schon?
Nein. Dein $N$ hängt ja offensichtlich noch von x ab!
Für $x [mm] \in [/mm] [a, [mm] \infty)$ [/mm] gilt:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - 1| = [mm] \frac{1}{1+n\cdot x} \le \frac{1}{1+n\cdot a}$
[/mm]
Damit hast du den Term unabhängig von x nach oben abgeschätzt. Wegen [mm] $\frac{1}{1+n\cdot a} \to [/mm] 0$ findest du zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\in \IN$ [/mm] so dass [mm] $|f_n(x) [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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