punktweise und gleichmäßige K. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mo 24.09.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] sei die Funktion [mm] f_{n}:\IR\rightarrow\IR [/mm] gegeben durch [mm] f(x)=\exp(-nx^{2}) [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] .
Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] auf punktweise und auf gleichmäßige Konvergenz. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
So bei dieser Aufgabe habe ich mal versucht zu lösen als Klausurvorbereitung und würde von Euch gerne wissen, ob das stimmt.
Wäre super wenn ihr mir Fehler verbessern und Verbesserungsvorschläge geben würdet.
Schon mal vielen Dank!
zur Aufgabe (s.o.):
Erstmal habe ich mich um die punktweise Konvergenz gekümmert. Bei den meisten Aufgaben ist immer ein Intervall angegeben auf dem die Funktion untersucht werden soll.
Da hier die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] untersucht werden soll, habe ich auf Grund der Tatsache, dass es sich um eine e - Funktion handelt als sinnvolle Stellen x = 0, x < 0 und x > 0 gewählt und untersucht.
Für x > 0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)=0
[/mm]
Für x = 0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(0)=1
[/mm]
Für x > 0: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x)=0
[/mm]
Daraus erhalte ich dann folgende Grenzfunktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ > 0} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ = 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
So, jetzt zur gleichmäßigen Konvergenz!
Als erstes gehe ich so vor und bestimme das Supremum.
Da gibt es also für mich immer 2 Möglichkeiten. Entweder ich bestimme das Maximum der Funktion oder aber ich versuche es durch abschätzen.
In diesem Fall, meistens funktioniert es ja, gehe ich über den 1. Weg.
[mm] f_{n}(x)=e^{-nx^{2}}
[/mm]
[mm] f_{n}'(x)= [/mm] -2nx [mm] e^{-nx^{2}} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0
[mm] f_{n}''(x)= [/mm] -2n [mm] e^{-nx^{2}} [/mm] (1 + [mm] 2nx^{2}) [/mm]
[mm] \Rightarrow f_{n}''(0)= [/mm] -2n [mm] \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \varepsilon \IN [/mm] existiert ein sup = [mm] f_{n}(0) [/mm] = 1.
So nun wende ich noch die Def. von gleichmäßiger Stetigkeit an und schließe daraus:
[mm] f_{n} [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f(x) [Grenzfunktion], denn für [mm] \varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{1}{4} [/mm] findet man ein N [mm] \varepsilon \IN, [/mm] so dass die Bedingung für gleichmäßige Stetigkeit erfüllt ist, denn es ist für alle n [mm] \ge [/mm] N=1 [mm] |f_{n}(0) [/mm] - f(0)| = |sup - f(0)| = |1 - 1| = 0 [mm] \le \varepsilon.
[/mm]
Fertig! Stimmt das so?
MFG
Alexander
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> Für jedes [mm]n\in\IN[/mm] sei die Funktion [mm]f_{n}:\IR\rightarrow\IR[/mm]
> gegeben durch [mm]f(x)=\exp(-nx^{2})[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] .
>
> Untersuchen Sie die Funktionenfolge [mm](f_{n})_{n \in \IN}[/mm] auf
> punktweise und auf gleichmäßige Konvergenz.
> [mm]f_{n}(x)=e^{-nx^{2}}[/mm]
>
> [mm]f_{n}'(x)=[/mm] -2nx [mm]e^{-nx^{2}}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0
>
> [mm]f_{n}''(x)=[/mm] -2n [mm]e^{-nx^{2}}[/mm] (1 + [mm]2nx^{2})[/mm]
> [mm]\Rightarrow f_{n}''(0)=[/mm] -2n [mm]\Rightarrow \forall[/mm] n
> [mm]\varepsilon \IN[/mm] existiert ein sup = [mm]f_{n}(0)[/mm] = 1.
>
> So nun wende ich noch die Def. von gleichmäßiger Stetigkeit
> an und schließe daraus:
>
> [mm]f_{n}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f(x) [Grenzfunktion],
> denn für [mm]\varepsilon[/mm] := [mm]\bruch{1}{4}[/mm] findet man ein N
> [mm]\varepsilon \IN,[/mm] so dass die Bedingung für gleichmäßige
> Stetigkeit erfüllt ist, denn es ist für alle n [mm]\ge[/mm] N=1
> [mm]|f_{n}(0)[/mm] - f(0)| = |sup - f(0)| = |1 - 1| = 0 [mm]\le \varepsilon.[/mm]
>
> Fertig! Stimmt das so?
Hallo,
nein, das stimmt so nicht.
Zum einen darfst Du die Aussage nicht nur - wie Du es tust - für ein bestimmtes [mm] \varepsilon [/mm] zeigen. Sie muß ja für jedes beliebige [mm] \varepsilon [/mm] gelten. (Ein bestimmtes [mm] \varepsilon [/mm] reicht, um die Aussage zu WIDERlegen.)
Abgesehen davon mußt Du ja aber zeigen, daß es ein N gibt, so daß die Aussage [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon [/mm] für jedes [mm] n\ge [/mm] N an sämtlichen Stellen gilt, also für alle x, und nicht etwa nur für irgendein x, welches Du Dir aussuchst. Und das hast Du getan. Du hast Dir einfach die Stelle x=0 ausgesucht. Die unkritischste Stelle überhaupt! Denn für sämtliche [mm] f_n [/mm] gilt ja [mm] f_n(0)=1=f(0).
[/mm]
Ich glaube, daß Du das mit dem Supremum mißverstanden hast. Man schaut hier ja die Differenz von [mm] f_n [/mm] und f an. Und das Supremum dieser Differenz liegt im vorliegenden Fall nicht dort, wo [mm] f_n [/mm] sein Maximum hat. Wie oben erwähnt, ist hier die Differenz bei den betrachteten Funktionen am kleinsten.
Die Frage ist:
Findest Du für vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] ein N, so daß für [mm] n\ge [/mm] N für sämtliche x gilt [mm] |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon, [/mm] also auch für x>0,
d.h. findest Du so ein N, daß für [mm] n\ge [/mm] N für alle x>0 [mm] |f_n(x)-f(x)|=e^{-nx^2}-0=e^{-nx^2}<\varepsilon [/mm] gilt?
Darüber solltest Du unbedingt nachdenken.
---
Etwas anderes sollte Dich stutzen lassen:
Deine [mm] f_n [/mm] sind eine Folge stetiger Funktionen.
Da gibt es den wichtigen Satz: Wenn [mm] f_n [/mm] eine Folge stetiger Funktionen ist, die glm. gegen f konvergiert, so ist f stetig.
Nun ist f in Deinem Fall offensichtlich nicht stetig. Also kann die Konvergenz nicht glm sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mo 24.09.2007 | | Autor: | alexmart |
Hallo Angela,
erstmal danke für deine Antwort.
> Etwas anderes sollte Dich stutzen lassen:
>
> Deine [mm]f_n[/mm] sind eine Folge stetiger Funktionen.
>
> Da gibt es den wichtigen Satz: Wenn [mm]f_n[/mm] eine Folge stetiger
> Funktionen ist, die glm. gegen f konvergiert, so ist f
> stetig.
>
> Nun ist f in Deinem Fall offensichtlich nicht stetig. Also
> kann die Konvergenz nicht glm sein.
Ja, diesen Satz kenne ich tatsächlich. Damit hätte ich mir viel Zeit sparen können. :)
Okay, aber wenn die Grenzfunktion stetig wäre, müsste ich doch über die Definition arbeiten und es überprüfen.
> Zum einen darfst Du die Aussage nicht nur - wie Du es tust
> - für ein bestimmtes [mm]\varepsilon[/mm] zeigen. Sie muß ja für
> jedes beliebige [mm]\varepsilon[/mm] gelten. (Ein bestimmtes
> [mm]\varepsilon[/mm] reicht, um die Aussage zu WIDERlegen.)
Ja, das sehe ich ein.
> Abgesehen davon mußt Du ja aber zeigen, daß es ein N gibt,
> so daß die Aussage [mm]|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon[/mm] für jedes [mm]n\ge[/mm]
> N an sämtlichen Stellen gilt, also für alle x, und nicht
> etwa nur für irgendein x, welches Du Dir aussuchst. Und
> das hast Du getan. Du hast Dir einfach die Stelle x=0
> ausgesucht. Die unkritischste Stelle überhaupt! Denn für
> sämtliche [mm]f_n[/mm] gilt ja [mm]f_n(0)=1=f(0).[/mm]
>
> Ich glaube, daß Du das mit dem Supremum mißverstanden hast.
> Man schaut hier ja die Differenz von [mm]f_n[/mm] und f an. Und das
> Supremum dieser Differenz liegt im vorliegenden Fall nicht
> dort, wo [mm]f_n[/mm] sein Maximum hat. Wie oben erwähnt, ist hier
> die Differenz bei den betrachteten Funktionen am
> kleinsten.
>
Ja, ich habe mir nochmal die Def. angeschaut und auch gesehen, dass mich das sup der differenzen interessiert.
Die Def. heißt laut wikipedia:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_{x \varepsilon D_{f}} |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] = 0
Allerdings ist mir diese Definition sehr unsympathisch und ich verwende lieber deine, die ich gefunden habe.
> Die Frage ist:
>
> Findest Du für vorgegebenes [mm]\varepsilon[/mm] ein N, so daß für
> [mm]n\ge[/mm] N für sämtliche x gilt [mm]|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,[/mm] also
> auch für x>0,
>
> d.h. findest Du so ein N, daß für [mm]n\ge[/mm] N für alle x>0
> [mm]|f_n(x)-f(x)|=e^{-nx^2}-0=e^{-nx^2}<\varepsilon[/mm] gilt?
>
> Darüber solltest Du unbedingt nachdenken.
So wenn ich deine Definition jetzt reichtig verstehe muss ich bei meinem Beispiel jetzt 3 Fälle unterscheiden nämlich x < 0, x > 0 und x = 0 und bei allen 3 Fällen muss diese Definition gelten.
Stimmt das?
Ich nehme jetzt mal an ich sollte mir diesen Fall x > 0 anschauen weil ihc hier kein N finde.
So darüber habe ich jetzt mal nachgedacht. So jetzt würde ich schreiben
[mm] e^{-nx^{2}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow -nx^{2} [/mm] < [mm] e^{\varepsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] -n < [mm] \bruch{e^{\varepsilon}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] n > [mm] -\bruch{e^{\varepsilon}}{x^{2}}
[/mm]
Demnach würde doch für alle n [mm] \ge [/mm] 1 deine Bedingung für alle x > 0 gelten, oder?
Aber das dürfte eigentlich ja net stimmen.
Desweiteren habe ich diesen Post gelesen: Gleichmäßige Konvergenz
Hier habt ihr auch das supremum von [mm] f_{n} [/mm] bestimmt, dass du dann in deine Definition eingesetzt hast. Hier hättest du doch aber für x auch ein anderes x aus dem Def. bereich nehmen können und den Widerspruch zeigen können, oder?
Also die ganz Sache ist mir noch net so klar. Vielleicht kannst du da noch etwas Licht ins dunkel bringen.
Ich wäre dir echt super dankbar, aber das bin ich ja eh für jede Antwort.
MFG
Alexander
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> Ja, ich habe mir nochmal die Def. angeschaut und auch
> gesehen, dass mich das sup der differenzen interessiert.
>
> Die Def. heißt laut wikipedia:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup_{x \varepsilon D_{f}} |f_{n}(x)-f(x)|[/mm]
> = 0
> Allerdings ist mir diese Definition sehr unsympathisch und
> ich verwende lieber deine, die ich gefunden habe.
Beides sagt dasselbe aus.
>
> So wenn ich deine Definition jetzt reichtig verstehe muss
> ich bei meinem Beispiel jetzt 3 Fälle unterscheiden nämlich
> x < 0, x > 0 und x = 0 und bei allen 3 Fällen muss diese
> Definition gelten.
Sagen wir lieber: die Bedingung.
Du kannst hier x=0 und [mm] x\not=0 [/mm] anschauen, denn wir haben ja [mm] x^2 [/mm] im Exponenten, die sache ist als symmetrisch.
> Ich nehme jetzt mal an ich sollte mir diesen Fall x > 0
> anschauen weil ihc hier kein N finde.
>
> So darüber habe ich jetzt mal nachgedacht. So jetzt würde
> ich schreiben
> [mm]e^{-nx^{2}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow -nx^{2}[/mm] < [mm]e^{\varepsilon}[/mm]
Ogottogott! Was ist denn das für eine Umformung???
> [mm]\Rightarrow[/mm] -n < [mm]\bruch{e^{\varepsilon}}{x^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] n > [mm]-\bruch{e^{\varepsilon}}{x^{2}}[/mm]
>
> Demnach würde doch für alle n [mm]\ge[/mm] 1 deine Bedingung für
> alle x > 0 gelten, oder?
>
> Aber das dürfte eigentlich ja net stimmen.
Stimmt auch nicht.
Guck doch mal, was passiert, wenn Du in [mm] e^{-nx^{2}} [/mm] mit dem x immer näher an 0 gehst: das Ding geht immer dichter an 1 heran. Deshalb kannst Du das nicht mit [mm] \varepsilon [/mm] nach oben abschätzen.
Sag' mir ein [mm] \varepsilon, [/mm] und ich sag' Dir, mit welchem x ich Dir die Sache verderben kann ...
Plotte Dir doch mal solche eine Funktionenschar. Wenn Du das siehst, zerplatzt die [mm] \varepsilon-Hoffnung [/mm] wie eine Seifenblase.
>
> Desweiteren habe ich diesen Post gelesen:
> Gleichmäßige Konvergenz
>
> Hier habt ihr auch das supremum von [mm]f_{n}[/mm] bestimmt, dass du
> dann in deine Definition eingesetzt hast. Hier hättest du
> doch aber für x auch ein anderes x aus dem Def. bereich
> nehmen können und den Widerspruch zeigen können, oder?
Nein, der Fall war hier völlig anders gelagert. Die Grenzfunktion f war f(x)=0 für alle x.
Daher ist der Betrag der Differenz hier stets der Betrag des Funktionswertes. Und der dort am größten beim Extremwert.
> Also die ganz Sache ist mir noch net so klar.
Kann ich mir gut vorstellen. Ich habe das auch nicht gleich verstanden. Ich glaube, ich versteh' es erst, seit ich es erkläre...
Gruß v. Angela
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