punktweise Konvergenz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 11.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Wie hängen punktweise Konvergenz und Konvergenz bzgl. einer [mm] $L^p$ [/mm] - Norm zusammen? |
Ich sehe keinen Zusammenhang, es soll aber einen geben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 11.12.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Im Allgemeinen gibt es da wirklich keinen Zusammenhang, soll heißen, daß punktweise Konvergenz i.A. nicht Konvergenz bzgl. einer [mm] $L^p$ [/mm] - Norm impliziert und auch umgekehrt impliziert die [mm] $L^p$-Konvergenz [/mm] i.A. nicht punktweise Konvergenz. Findest Du entsprechende Gegenbeispiele?
Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der [mm] $L^2$ [/mm] - Konvergenz einer Funktionenfolge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] und der punktweisen Konvergenz f.ü. einer Teilfolge [mm] $(f_{n_k})_k$:
[/mm]
[mm] $f_n\to [/mm] f$ in [mm] $L^2 \Rightarrow \exists (f_{n_k})_k) \to [/mm] f f.ü.$
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