punktw./gleichmäßig konvergent < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Funktionsfolgen [mm] (f_n)_{n \in \IN)} \subset F(\IR [/mm] , [mm] \IR) [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und geben Sie ggf. die Greunzfunktion an.
(i) [mm] f_n(x):= \wurzel{ \bruch{1}{n^2} + x^2},
[/mm]
(ii) [mm] f_n(x) [/mm] := [mm] x^2 \summe_{k=0}^{n-1}(1+x^2)^{-k} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für die (i) habe ich mir folgendes gedacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] = [mm] \wurzel{x²} [/mm] = x =:f(x)
Somit konvergiert [mm] f_n [/mm] punktweise gegen f(x)=x
Da f(x)=x stetig ist, konvergiert [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen f(x)=x
Stimmt das soweit?
Bei der ii) habe ich jedoch probleme und weiß nicht wie ich anfangen soll!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz, da ich jetzt wenig Zeit habe:
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionsfolgen [mm](f_n)_{n \in \IN)} \subset F(\IR[/mm]
> , [mm]\IR)[/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz und
> geben Sie ggf. die Greunzfunktion an.
> (i) [mm]f_n(x):= \wurzel{ \bruch{1}{n^2} + x^2},[/mm]
> (ii) [mm]f_n(x)[/mm]
> := [mm]x^2 \summe_{k=0}^{n-1}(1+x^2)^{-k}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Für die (i) habe ich mir folgendes gedacht:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_n[/mm] = [mm]\wurzel{x²}[/mm] = x =:f(x)
da ist ein erster kleiner Fehler: [mm] $\sqrt{x^2}=|x|\,$ [/mm] gilt für $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Denn laut Dir wäre etwa [mm] $\sqrt{(-5)^2}=-5\,,$ [/mm] was natürlich FALSCH ist. Aber das ist nur ein kleiner "Schnitzer", der schnell mal passieren kann. Korrigiere das also bitte!
> Somit konvergiert [mm]f_n[/mm] punktweise gegen f(x)=x
$$f(x):=|x| [mm] \;\;\; \text{ für alle }x \in \IR\,.$$
[/mm]
> Da f(x)=x
$$f(x)=|x|$$
> stetig ist, konvergiert [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen
> [mm] f(x)=$\red{|}$x$\red{|}$
[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Leider ist das letzte Argument schlichtweg keines. Wäre [mm] $f\,$ [/mm] unstetig, so könntest Du schließen, weil alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig sind, dass dann [mm] $(f_n)_n$ [/mm] NICHT gleichmäßig gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert.
Die Stetigkeit der (punktweisen) Grenzfunktion ist notwendig für gleichmäßige Konvergenz, falls alle Folgeglieder stetige Funktionen sind. Sie ist aber nicht hinreichend. D.h. es gibt durchaus auch eine Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiert, so dass die punktweise Grenzfunktion stetig ist - aber die Folge konvergiert dann trotzdem NICHT gleichmäßig gegen diese (beachte: falls glm. Konvergenz vorliegt, so "stimmt die "glm. Grenzfunktion" mit der "punktweise Grenzfunktion" überein - warum?").
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!
, sorry, die Betragstriche habe ich vergessen!
Okay, also die gleichm. Grenzfunktion und die punktw. Grenzfunktion müssen übereinstimmen, da die funktionen sic für große n ja um einen epsiolonschlauch um die grenzfunktion annähern sollen.
kann ich das dann so machen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-f(x)|= \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ \bruch{1}{n^2} + x^2} [/mm] | = [mm] \wurzel{x^2}-|x|=|x|-|x| [/mm] = 0
???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Mi 14.12.2011 | | Autor: | DudiPupan |
> Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!
> , sorry, die Betragstriche habe ich vergessen!
> Okay, also die gleichm. Grenzfunktion und die punktw.
> Grenzfunktion müssen übereinstimmen, da die funktionen
> sic für große n ja um einen epsiolonschlauch um die
> grenzfunktion annähern sollen.
> kann ich das dann so machen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-f(x)|= \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{ \bruch{1}{n^2} + x^2}[/mm]
Das soll natürlich heißen:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-f(x)|= \limes_{n\rightarrow\infty} | \wurzel{ \bruch{1}{n^2} + x^2}-|x||= |\wurzel{x^2}-|x||=||x|-|x|| = 0 [/mm]
> ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Do 15.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!
> , sorry, die Betragstriche habe ich vergessen!
> Okay, also die gleichm. Grenzfunktion und die punktw.
> Grenzfunktion müssen übereinstimmen, da die funktionen
> sic für große n ja um einen epsiolonschlauch um die
> grenzfunktion annähern sollen.
das ist mir nicht genau genug. Ich schreib's nun einfach mal hin:
Sei [mm] $(f_n)_n$ [/mm] Funktionenfolge, die glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiere. Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert dann ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ folgt
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \epsilon$$
[/mm]
für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
Für beliebiges [mm] $x_0\,$ [/mm] setzt Du dann halt einfach [mm] $N_{\epsilon,x_0}:=N_\epsilon$ [/mm] (das letzte [mm] $N_\epsilon$ [/mm] ist das aus der glm. Kgz!) und siehst somit, dass insbesondere
[mm] $$|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon$$
[/mm]
gilt.
Das ist also i.w. die gleiche Argumentation wie beim Beweis, dass glm. Stetigkeit einer Funktion auch die punktweise beinhaltet.
Etwas "salopper" kann man oben sagen: Wenn einer Funktionenfolge gleichmäßig konvegiert, dann heißt dass, dass "die Konvergenz gegen die glm. Grenzfunktion nicht an verschiedenen Stellen "unterschiedlich schnell" abläuft". Aber an dieser Formulierung, die eigentlich meiner Meinung nach auch sehr unsauber ist, sieht man zudem, dass an jeder Stelle eine Konvergenz stattfindet. (Man hat also überall punktweise Kgz., und wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes muss dann der punktweise Grenzwert der gleiche sein wie der Funktionswert der glm. Grenzfunktion an der betrachteten Stelle.)
Bei nicht glm. Konvergenz, aber punktweiser, Konvergenz findet sozusagen auch an jeder Stelle eine Konvergenz statt, aber "die Art, wie schnell diese stattfindet, wird von Stelle zu Stelle stark variieren." Aber das nur grob.
Also nochmal:
Bei glm. Kgz. steht da: Zu jedem [mm] $\epsilon$ [/mm] gibt es ein [mm] $N\,,$ [/mm] nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] darf es abhg. sein, so dass dann für alle [mm] $x\,$ [/mm] folgt ...
Das [mm] $N\,$ [/mm] kann dann also unabhg. von [mm] $x\,$ [/mm] gewählt werden - sozusagen "universell".
Bei punktweiser Kgz. fordert man, dass zu jedem [mm] $\epsilon$ [/mm] und zu jedem [mm] $x\,$ [/mm] es ein passendes [mm] $N\,,$ [/mm] dass sowohl von [mm] $\epsilon$ [/mm] als auch von [mm] $x\,$ [/mm] abhängen darf, so dass dann folgt ...
Wenn ich zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ also ein [mm] $N\,$ [/mm] aus der glm. Kgz. habe, dann passt dieses, weil es ja "universell" war, insbesondere zu jeder speziellen Stelle [mm] $x\,$ [/mm] - passt also dann dort auch zur "punktweisen Kgz.".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 16.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:21 Do 15.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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