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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Sa 02.09.2006 | | Autor: | hey |
| Aufgabe | 1.
a.) Welche Bedingung muss die Funktion v(x) erfüllen, damit [mm] \limes_{h\rightarrow\zero} [/mm] v(x+h)= [mm] \limes_{n\rightarrow\zero} [/mm] v(x) gilt.
b.) was kann man anstelle dieses Terms schreiben?
[mm] \limes_{h\rightarrow\null} \bruch{v(x+h)*u(x+h)-v(x)*u(x)}{h} [/mm] |
*nur so nebenbei, ich wollte oben schreiben h->0 (bei Lim), aber es klappt irgendwie nie*
hallo!
ich hab noch ein paar Probleme bei diesen Aufgaben ... ich fang erst mal mit der b.) ab, die ist einfacher ;) (oh, ich lass limes weg, das ist so umständlich zu schreiben)
okay, ich hab bei dieser Aufgabe 2 Lösungen, ich weiß aber nicht welche stimmt!
1.) [mm] \bruch{(vx+vh)*(ux+uh)-vux^2}{h}=
[/mm]
[mm] \bruch{vux^2+2vuxh+vuh^2-vux^2}{h}=
[/mm]
2uvx
oder
[mm] 2.)\bruch{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=
[/mm]
2x
ich wiß nicht genau, was ich mit dem v und dem u machen soll.
jetzt zu der a.)
ich vermute dass dieFUnktion stetig sein muss, aber ich weiß es nicht genau. ich meine, der grenzwert muss doch hier gleich dem Funktionswert sein, oder?? dann wäre sie nämlcih stetig
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Sa 02.09.2006 | | Autor: | betlor |
Hi,
gegen was läuft h und n in Frage 1 und 2?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Sa 02.09.2006 | | Autor: | hey |
also es geht sowohl h als auch n gegen 0 (in beiden aufgaben)
außerdem ist h und n das gleiche, ich hab mich nur verschrieben
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Hallo hey,
> 1.
> a.) Welche Bedingung muss die Funktion v(x) erfüllen,
> damit [mm]\limes_{h\rightarrow\zero}[/mm] v(x+h)=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\zero}[/mm] v(x) gilt.
> ich vermute dass dieFUnktion stetig sein muss, aber ich
> weiß es nicht genau. ich meine, der grenzwert muss doch
> hier gleich dem Funktionswert sein, oder?? dann wäre sie
> nämlcih stetig
Ich bin selbst unsicher, denke aber, daß du Recht hast. Auf ![[]](/images/popup.gif) folgender Seite steht ganz unten eine Bemerkung "Stetigkeit heißt insb...", welche nach deiner Frage aussieht.
> b.) was kann man anstelle dieses Terms schreiben?
> [mm]\limes_{h\rightarrow\null} \bruch{v(x+h)*u(x+h)-v(x)*u(x)}{h}[/mm]
Stell' dir die Funktion [mm]f(x) := v(x)u(x)[/mm] vor. Die Ableitung von f ist ja so definiert:
[mm]f(x) := \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}[/mm]
und jetzt setze für f den zugehörigen Term ein... (oje ... aber ich hab' jetzt auch so lange gebraucht, weil ich dachte, es hätte 'was mit der Produktregel zu tun, und deshalb das Einfachere gar nicht erst probiert habe. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") )
Grüße
Karl
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Hallo,
da diese Aufgabe sehr wohl etwas mit der Produktregel zu tun hat, tu ich hier meinen Senf dazu.
Ich vermute mal, dass du gemeint hast:
a) [mm] $\lim_{h\to0} [/mm] v(x+h) = [mm] \lim_{h\to0} [/mm] v(x-h)$
Das ist erfüllt, wenn die Funktion an der Stelle $x$ stetig ist.
b) Hier möchte man wohl die Produktregel herleiten. Dafür braucht man aber einen kleinen Trick (der in der Mathematik recht verbreitet ist...)
[mm] $\left(u\left(x\right)*v\left(x\right)\right)' [/mm] = [mm] \lim_{h\to0}\bruch{u\left(x+h\right)*v\left(x+h\right) - u\left(x\right)*v\left(x\right)}{h}$ [/mm]
$= [mm] \lim_{h\to0}\bruch{u\left(x+h\right)*v\left(x+h\right) - u\left(x\right)*v\left(x\right) + u\left(x\right)*v\left(x+h\right) - u\left(x\right)*v\left(x+h\right)}{h}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to0}\bruch{u\left(x+h\right)*v\left(x+h\right) - u\left(x\right)*v\left(x+h\right) + u\left(x\right)*v\left(x+h\right) - u\left(x\right)*v\left(x\right)}{h}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{h\to0}\bruch{u\left(x+h\right) - u\left(x\right)}{h}*v\left(x+h\right) [/mm] + [mm] \lim_{h\to0}u\left(x\right)*\bruch{v\left(x+h\right) - v\left(x\right)}{h}$
[/mm]
$= [mm] u'\left(x\right)*v\left(x\right) [/mm] + [mm] u\left(x\right)*v'\left(x\right)$
[/mm]
So, damit haben wir tatsächlich die Produktregel hergeleitet.
Gruß
Martin
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