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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 18.05.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | $(a)$ Bestimmen Sie einen expliziten Erzeuger (ein sogenanntes primitives Element) von [mm] $(\IZ/p^6\IZ)^{\*}$ [/mm] für die Primzahlen $p = 3,5,7$.
$(b)$ Bestimmen Sie die Struktur und ein minimales Erzeugendensystem der Gruppen [mm] $(\IZ/m\IZ)^{\*}$ [/mm] für $m=40,50,60.$
$(c)$ Bestimmen Sie Erzeuger der Gruppen [mm] $(\IZ/16\IZ)^{\*}$ [/mm] und [mm] $(\IZ/32\IZ)^{\*}$.
[/mm]
$(d)$ Beweisen Sie, dass für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt [mm] $(\IZ/2^n\IZ)^{\*} \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}$ [/mm] . |
a)
Vorweg:
Sei $a$ das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe $G$ . Es ist [mm] $a^r$ [/mm] mit $ r [mm] \in \IZ$ [/mm] ein erzeugendes Element [mm] $\gdw [/mm] ggT(r,n)=1$
Außerdem ist die ordnung eines Elements immer ein Teiler der Gruppenordnung.
[mm] $(\IZ/3^6\IZ)^{\*}=(\IZ/729\IZ)^{\*}$
[/mm]
Diese gruppe bestitz nun 728 Elemente und 728 kann ich primfaktorisieren in 728=2*2*2*7*13
,aber ich komme irgendwie auch nicht mit den vorab bemerkungen ans Ziel..:/
b) versteh ich die aufgaben stellung gar nicht..:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 18.05.2016 | | Autor: | hippias |
> [mm](a)[/mm] Bestimmen Sie einen expliziten Erzeuger (ein
> sogenanntes primitives Element) von [mm](\IZ/p^6\IZ)^{\*}[/mm] für
> die Primzahlen [mm]p = 3,5,7[/mm].
>
> [mm](b)[/mm] Bestimmen Sie die Struktur und ein minimales
> Erzeugendensystem der Gruppen [mm](\IZ/m\IZ)^{\*}[/mm] für
> [mm]m=40,50,60.[/mm]
>
> [mm](c)[/mm] Bestimmen Sie Erzeuger der Gruppen [mm](\IZ/16\IZ)^{\*}[/mm] und
> [mm](\IZ/32\IZ)^{\*}[/mm].
>
> [mm](d)[/mm] Beweisen Sie, dass für [mm]n \ge 2[/mm] gilt [mm](\IZ/2^n\IZ)^{\*} \cong C_2 \times C_{2^{n-2}}[/mm]
> .
> a)
>
> Vorweg:
>
> Sei [mm]a[/mm] das erzeugende Element einer zyklischen Gruppe [mm]G[/mm] . Es
> ist [mm]a^r[/mm] mit [mm]r \in \IZ[/mm] ein erzeugendes Element [mm]\gdw ggT(r,n)=1[/mm]
>
> Außerdem ist die ordnung eines Elements immer ein Teiler
> der Gruppenordnung.
>
> [mm](\IZ/3^6\IZ)^{\*}=(\IZ/729\IZ)^{\*}[/mm]
>
> Diese gruppe bestitz nun 728 Elemente und 728 kann ich
> primfaktorisieren in 728=2*2*2*7*13
>
Das ist eine falsche Annahme, bzw. waere wahr, wenn [mm] $\/Z/3^{6}\IZ$ [/mm] ein Köper wäre. Finde daher ersteinmal die richtige Gruppenordnung heraus.
Mein Tip zum eigentlichen Problem: Ausprobieren! Bilde von verschiedenen Elementen Potenzen bis $1$ herauskommt; Du wirst bald fündig werden. Es kann auch lohnend die ausprobierten Elemente zu kombinieren: angenommen $a$ hat die Ordung $8$ und $b$ die Ordnung $5$, dann hat $ab$ schon die Ordnung $40$.
> ,aber ich komme irgendwie auch nicht mit den vorab
> bemerkungen ans Ziel..:/
>
>
>
> b) versteh ich die aufgaben stellung gar nicht..:/
Dann wirst Du dafür keine Punkte bekommen... wobei ich aber vermute, dass Du sehr wohl Erzeugendensystem und minimales Erzeugendensystem verstehst.
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