potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Potenzreihenansatz
Approximieren Sie die Lösung y(x) der Anfangswertaufgabe durch die ersten vier
von null verschiedenen Glieder ihrer Taylorreihe.
y''(x) − y'(x) + exy(x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = −1 |
Hallo,
wie löse ich erstmal die differentialgleichung? auch wieder mit substitution? und dann die lösung einfach ableiten und taylorreihebilden?
danke!
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Hallo cracker,
> Potenzreihenansatz
> Approximieren Sie die Lösung y(x) der Anfangswertaufgabe
> durch die ersten vier
> von null verschiedenen Glieder ihrer Taylorreihe.
> y''(x) − y'(x) + exy(x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = −1
Soll die DGL vielleicht so heißen:
[mm]y''\left(x\right)-y'\left(x\right) + \blue{e^{x}}y\left(x\right) = 0[/mm]
?
> Hallo,
> wie löse ich erstmal die differentialgleichung? auch
> wieder mit substitution? und dann die lösung einfach
> ableiten und taylorreihebilden?
Nein, Du setzt hier gleich mit der Potenzreihe an:
[mm]y\left(x\right)=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}*x^{i}[/mm]
Setze dies nun in die DGL ein.
Beachte hier, daß eventuelle Funktionen, die in der DGL vorkommen,
ebenfalls durch ihre Potenzreihe darzustellen sind.
Dann bekommst Du ein Bildungsvorschrift heraus,
wie sich die Glieder der Potenzreihe ergeben.
> danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ja die angabe lautet so:
[mm] y''\left(x\right)-y'\left(x\right) [/mm] + [mm] \blue{e^{x}}y\left(x\right) [/mm] = 0
ich verstehe das mit dem potenzreihen einfach nicht, wie bilde ich so eine reihe aus der gleichung??:(
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Hallo cracker,
> ja die angabe lautet so:
> [mm]y''\left(x\right)-y'\left(x\right)[/mm] +
> [mm]\blue{e^{x}}y\left(x\right)[/mm] = 0
>
> ich verstehe das mit dem potenzreihen einfach nicht, wie
> bilde ich so eine reihe aus der gleichung??:(
Du hast ja den Ansatz
[mm]y\left(x\right)=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}[/mm]
Differenziere diesen Ansatz:
[mm]y'\left(x \right)= \ ...[/mm]
[mm]y''\left(x \right)= \ ...[/mm]
Dann ersetzt Du [mm]e^{x}[/mm]:
[mm]e^{x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}*x^{k}[/mm]
Jetzt musst Du noch [mm]e^{x}*y\left(x\right)[/mm] berechnen.
Das geht mit dem ![[]](/images/popup.gif) Cauchyprodukt.
Dies alles setzt Du in die DGL ein,
sortierst das nach x-Potenzen und vergleichst
das mit der rechten Seite und erhältst dann:
[mm]a_{i+2}= \ ... [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ist dann beim cauchyprodukt k=i? und wenn ich das ausgerechnet habe, wei löse ich die gleichung auf, dass ich die koeffizienten vergleichen kann?
bei mir steht jetzt da:
0= [mm] \summe_{i=2}^{\infty} [/mm] i*(i-1)* [mm] a_i [/mm] * [mm] x^{i-2} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] i* [mm] a_i* x^{i-1} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\cdot{}x^{k} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{\infty} a_i* x^i
[/mm]
wie fahre ich nun fort?
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Hallo cracker,
> ist dann beim cauchyprodukt k=i? und wenn ich das
Nein.
> ausgerechnet habe, wei löse ich die gleichung auf, dass
> ich die koeffizienten vergleichen kann?
> bei mir steht jetzt da:
>
> 0= [mm]\summe_{i=2}^{\infty}[/mm] i*(i-1)* [mm]a_i[/mm] * [mm]x^{i-2}[/mm] -
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] i* [mm]a_i* x^{i-1}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\cdot{}x^{k}[/mm] *
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty} a_i* x^i[/mm]
>
> wie fahre ich nun fort?
Jetzt muss Du erst das Produkt
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\cdot{}x^{k}* \summe_{i=0}^{\infty} a_i* x^i[/mm]
in der Form
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n* x^n[/mm]
schreiben.
Wenn Du das alles ausgerechnet hast, dann setze in den Summen
jeweils den Exponenten z.B. auf l.
Konkret heißt das für die erste Summe:
Der Exponent i-2 wird gleich l gesetzt:
[mm]i-2=l \Rightarrow i=l+2[/mm]
Dann folgt:
[mm]\summe_{i=2}^{\infty} i*(i-1)* a_i * x^{i-2}=\summe_{l=0}^{\infty} \left(l+2\right)*\left(l+1\right)*a_{l+2} * x^{l}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
wie schreibe ich das um? tut mir leid, weiß echt nich weiter:(
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\cdot{}x^{k}\cdot{} \summe_{i=0}^{\infty} a_i\cdot{} x^i [/mm]
in der Form
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n\cdot{} x^n [/mm]
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Hallo cracker,
> wie schreibe ich das um? tut mir leid, weiß echt nich
> weiter:(
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\cdot{}x^{k}\cdot{} \summe_{i=0}^{\infty} a_i\cdot{} x^i[/mm]
>
> in der Form
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_n\cdot{} x^n[/mm]
Ich habe Dir den Link zum Cauchyprodukt gegeben.
Was verstehst Du in dem Artikel nicht?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
kann ich die beiden summen einfach miteinander malnehmen, oder wie sieht das aus? auf der wikipedia seite sind ja beide summen von n bis [mm] \infty [/mm] aber hier habe ich doch i und k ? wie soll ich das zusammenfassen?
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Hallo cracker,
> kann ich die beiden summen einfach miteinander malnehmen,
> oder wie sieht das aus? auf der wikipedia seite sind ja
> beide summen von n bis [mm]\infty[/mm] aber hier habe ich doch i und
> k ? wie soll ich das zusammenfassen?
i und k sind nur die Laufindizes der beiden Summen.
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}*x^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}a_{i}*x^{i}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}*x^{k}*a_{i}*x^{i}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}*a_{i}*x^{i+k}[/mm]
Setze jetzt [mm]l=i+k[/mm], dann ist [mm]i=l-k[/mm]
und es ergibt sich:
[mm]\Rightarrow \summe_{l=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{l}\bruch{1}{k!}*a_{l-k}*x^{l}[/mm]
So, jetzt bis Du wieder dran.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
und der exponent i-1 wird dann z.B. gleich m, weil gleich l geht ja nicht oder?
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Hallo cracker,
> und der exponent i-1 wird dann z.B. gleich m, weil gleich l
> geht ja nicht oder?
Den Exponenten änderst Du ja nicht.
In der Summe kann der neue Index heissen, wie er will.
Angebracht ist hier den selben Index wie in der ersten
Summe zu wählen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ich verstehe das mit den laufindezes trotzdem nicht so ganz, wenn ich für die erste summe i-2=l wähle kann ich doch nicht sagen, dass i-1=l auch gleich l ist?
und wenn ich alle summen mit den gleichen indezes habe, was kann ich dan zusammenfassen? [mm] x^l [/mm] ausklammern geht doch nicht einfach oder?
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Hallo cracker,
> ich verstehe das mit den laufindezes trotzdem nicht so
> ganz, wenn ich für die erste summe i-2=l wähle kann ich
> doch nicht sagen, dass i-1=l auch gleich l ist?
Du änderst den Laufindex für jede Summe.
Für die erste Summe setzt Du i-2=l.
Somit läuft l von 0.
Für die zweite Summe setzt Du i-1=l.
Auch hier beginnt dann l von 0 an zu laufen.
> und wenn ich alle summen mit den gleichen indezes habe,
> was kann ich dan zusammenfassen? [mm]x^l[/mm] ausklammern geht doch
> nicht einfach oder?
Das naheliegende Ziel ist, die Potenzen
mit gleichem Exponenten zu vergleichen.
Da Du in allen Summen dieselbe Potenz hast,
kannst Du dann auch [mm]x^{l}[/mm] ausklammern.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ich bin nun soweit:
0= [mm] x^l [/mm] * [mm] [\summe_{l=0}^{\infty} (l^2 [/mm] + 3l + 2) [mm] a_{l+2}- \summe_{l=0}^{\infty} [/mm] (l+1) [mm] a_{l+1} [/mm] + [mm] \summe_{l=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{l} \bruch{1}{k!}* a_{l-k}]
[/mm]
und jetzt? koeffizientenvergleich?aber wovon?
z.b.:
[mm] a_{l+1}=0
[/mm]
aber dann ist ja alles 0?
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Hallo cracker,
> ich bin nun soweit:
>
> 0= [mm]x^l[/mm] * [mm][\summe_{l=0}^{\infty} (l^2[/mm] + 3l + 2) [mm]a_{l+2}- \summe_{l=0}^{\infty}[/mm]
> (l+1) [mm]a_{l+1}[/mm] + [mm]\summe_{l=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{l} \bruch{1}{k!}* a_{l-k}][/mm]
Das sieht gut aus.
>
> und jetzt? koeffizientenvergleich?aber wovon?
> z.b.:
> [mm]a_{l+1}=0[/mm]
> aber dann ist ja alles 0?
Jetzt löst Du die eckige Klammer nach [mm]a_{l+2}[/mm] auf.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
wie löse ich denn danach auf? kann ich [mm] a_{l+1} [/mm] und [mm] a_{l-k} [/mm] irgendwie danach umformen?
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Hallo cracker,
> wie löse ich denn danach auf? kann ich [mm]a_{l+1}[/mm] und [mm]a_{l-k}[/mm]
> irgendwie danach umformen?
Nun, [mm]a_{l+2}[/mm] ist das nächste Glied in der Potenzreihe.
Der Index von [mm]a_{l+1}[/mm] ist kleiner als der Index von [mm]a_{l+2}[/mm].
Ebenso ist der Index von [mm]a_{l-k}, \ 0 \le k \le l[/mm] kleiner
als der Index von [mm]a_{l+2}[/mm].
Somit brauchst Du nur nach [mm]a_{l+2}[/mm] umstellen.
Als Ergebnis bekommst eine Rekursionsformel für das l+2. Glied:
[mm]a_{l+2}=f\left(a_{l+1}, \ ... \ , \ a_{0}\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
Meine Lösung für [mm] a_{l+2} [/mm] wäre dann:
[mm] a_{l+2} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{l=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{l}\bruch{1}{k!}a_{l-k} - \summe_{l=0}^{\infty} (l+1) a_{l+1}}{\summe_{l=0}^{\infty}l^2 + 3l+ 2}
[/mm]
und was mache ich jetzt damit? in der angabesteht ja was von taylorreihe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
ich muss ja irgendwie auf die lösung y(x) kommen damit ich das ableiten kann und die taylorreihe bilden oder?
aber wie komme ich darauf?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
muss ich hier eventuell mittels induktion oder so von a_ {l+2} auf [mm] a_{l+1} [/mm] und damit auf [mm] a_l [/mm] kommen? aber ich weiß nicht wie und vor allem wie ich dann damit die lösung y(x) bilde...und damit dann die taylorreihe
?
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Hallo cracker,
> muss ich hier eventuell mittels induktion oder so von a_
> {l+2} auf [mm]a_{l+1}[/mm] und damit auf [mm]a_l[/mm] kommen? aber ich weiß
Nein.
> nicht wie und vor allem wie ich dann damit die lösung y(x)
> bilde...und damit dann die taylorreihe
> ?
Gemäß der in diesem Artikel genannten Bildungsvorschift für die
Glieder der Potenzreihe, kannst Du jetzt dieselbigen berechnen.
Gruss
MathePower
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Hallo cracker,
> Meine Lösung für [mm]a_{l+2}[/mm] wäre dann:
>
> [mm]a_{l+2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\summe_{l=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{l}\bruch{1}{k!}a_{l-k} - \summe_{l=0}^{\infty} (l+1) a_{l+1}}{\summe_{l=0}^{\infty}l^2 + 3l+ 2}[/mm]
Du willst ja das l+2. Glied berechnen,
deshalb läßt Du die äußeren Summen weg:
[mm]a_{l+2} = \bruch{\summe_{k=0}^{l}\bruch{1}{k!}a_{l-k} - (l+1) a_{l+1}}{l^2 + 3l+ 2}[/mm]
Nach meiner Rechnung muß das aber so lauten:
[mm]a_{l+2} = \bruch{\red{-}\summe_{k=0}^{l}\bruch{1}{k!}a_{l-k} \red{+} (l+1) a_{l+1}}{l^2 + 3l+ 2}[/mm]
>
> und was mache ich jetzt damit? in der angabesteht ja was
> von taylorreihe...
>
Jetzt kannst Du die geforderten Glieder der Potenzreihe berechnen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Wir haben
( *) $ [mm] y''\left(x\right)-y'\left(x\right) [/mm] + [mm] {e^{x}}y\left(x\right) [/mm] = 0 $
und den Ansatz
$ [mm] y\left(x\right)=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}\cdot{}x^{i} [/mm] $
Es gilt (das hattet Ihr bestimmt):
(**) [mm] $a_i [/mm] = [mm] \bruch{y^{(i)}(0)}{i!}$
[/mm]
Wegen $y(0) = 0, y'(0) = −1$ und (**) folgt:
[mm] a_0 [/mm] = 0 und [mm] a_1 [/mm] =-1
Aus (*) ergibt sich $y''(0) = -1$. Daher folgt aus (**):
[mm] $a_2 [/mm] = -1/2$
Differenziere (*), berechne $y'''(0)$ und mit (**) kannst Du dann [mm] a_3 [/mm] berechnen. Dieses Verfahren wiederholst Du so lange bist Du 4 der Koefizienten [mm] a_i, [/mm] die [mm] \not=0 [/mm] sind, beisammen hast.
FRED
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